روش‌هاي عددي همتافته و متقارن براي حل عددي برخي مدل‌هاي رياضي اجرام سماوي

Symplectic and symmetric methods for the numerical solution of some mathematical models of celestial objects

در سال­هاي اخير، تئوري روش­هاي عددي براي دستگاه معادلات ديفرانسيل سخت و غيرسخت به يك كمال خاصي رسيده است. بنابراين، كدهاي فوق‌العاده زيادي كه بر پايه روش‌هاي رانگ-كوتا، روش‌هاي چندگامي خطي، روش‌هاي ابرشكف، روش‌هاي پيوندي يا روش‌هاي خطي عمومي هستند، وجود دارند. اگرچه اين روش­ها داراي دقت خوب و خواص پايداري مطلوب مانند A-پايداري و L-پايداري هستند، ولي براي حل عددي دسته‌هاي خاصي از مسايل كه از زمينه­هاي تحقيقاتي مختلفي ناشي مي­شوند، مناسب نيستند. براي مثال، مدل­‌هاي رياضي حركت اجرام سماوي كه دستگاه هاميلتوني هستند. از آنجايي كه جواب چنين مسايلي داراي خواص هندسي خاصي از جمله همتافتگي و عموماً برگشت­پذيري است، طبيعي است بهدنبال روش­هايي باشيم كه داراي اين ويژگي­ها باشند. هدف اين مقاله طراحي روش­هاي عددي همتافته و متقارن از مراتب بالا است. كارايي و دقت روش­هاي معرفي شده با نتايج عددي حاصل از پياده­سازي آنها روي مسايل هاميلتوني معروف از حركت اجرام سماوي، تأييد خواهند شد.

In the last years، the theory of numerical methods for system of non-stiff and stiff ordinary differential equations has reached a certain maturity. So، there are many excellent codes which are based on Runge–Kutta methods، linear multistep methods، Obreshkov methods، hybrid methods or general linear methods. Although these methods have good accuracy and desirable stability properties such as A-stability and L-stability، they are not suitable for the numerical solution of special classes of problems arising from different research areas، for example the mathematical models of celestial objects which are Hamiltonian systems. Since the solution of such problems has special geometric property such as symplecticity and usually reversibility. Therefore، it is natural to search for numerical methods that share this property. It is the purpose of this paper to design high order symplectic and symmetric methods. Efficiency and accuracy of the constructed methods are confirmed by implementing on well-known Hamiltonian problems of the motions of celestial objects.