نتايجي از تعميم نامساوي بورخ و عمق جبر ريس و حلقه مدرج وابسته يك ايدآل نسبت به يك مدول كوهن - مكالي

Results on Generalization of Burch’s Inequality and the Depth of Rees Algebra and Associated Graded Rings of an Ideal with Respect to a Cohen-Macaulay Module

فرض كنيد يك حلقه‌ موضعي كوهن - مكالي با هيأت مانده‌اي نامتناهي ، يك - مدول كوهن - مكاليو ايدآلي از باشد. فرض كنيد و ، به ترتيب جبر ريس و حلقه‌ مدرج وابسته و نشان دهنده‌‌ي بسط تحليلي باشد. نامساوي بورخ بيان مي‌كند كه و تساوي زماني برقرار است كه كوهن - مكالي باشد. بنابراين در اين حالت مي‌توان با محاسبه عمق حلقه مدرج وابسته ، بيان كرد . ما در اين مقاله نتايج را به حالت مدولي تعميم مي‌دهيم و نشان خواهيم داد براي عمق مدول مدرج وابسته نسبت به ؛ يعني ، اين تساوي در حالت مدولي حتي اگر لزوماً كوهن - مكالي نباشد نيز برقرار است و تعميم نامساوي بورخ را ثابت خواهيم كرد. همچنين به محاسبه عمق جبر ريس و حلقه‌‌ مدرج وابسته به يك ايدآل نوعاً همبرش كامل نسبت به مدول در يك حلقه‌ موضعي كوهن - مكالي خواهيم پرداخت و نتايجي را درباره‌‌ي ايدآل‌هاي با انحراف تحليلي كوچكتر يا مساوي يك با عدد تقليل حداكثر دو نسبت به مدول به دست مي‌آوريم.

Let be a local Cohen-Macaulay ring with infinite residue field, an Cohen - Macaulay module and an ideal of Consider and , respectively, the Rees Algebra and associated graded ring of , and denote by the analytic spread of Burch’s inequality says that and equality holds if is Cohen-Macaulay. Thus, in that case one can compute the depth of associated graded ring of as In this paper we extend results in case of rings and ideals to the case of modules and we show that for associated graded module of with respect to i.e, , such an equality is also valid when is not necessarily Cohen-Macaulay, and we extend Burch’s inequality to modules. Also, we compute the Rees Algebra and associated graded ring of generically complete intersection of an ideal with respect to module in local Cohen - Macaulay ring and we obtain positive results for ideals with analytic deviation less or equal than one and reduction number at most two with respect to module