تابع لياپانوف جديد براي پايداري ربات لامسه اي در شبيه سازي اجسام مجازي

A novel Lyapunov function for stability of haptic device in simulating virtual objects

در اين مقاله معيار پايداري يك ربات لامسه اي با استفاده از روش لياپانوف ارائه شده است. ربات به صورت جرم و ميرائي مدل شده، كه وظيفه دارد تماس با جسم مجازي با فنريت و ميرائي مشخص را شبيه سازي نمايد. معادلات ديناميكي و معادلات فضاي حالت با فرض كوچك بودن مقادير زمان نمونه برداري، تاخير زماني و ضريب ميرايي مجازي استخراج گرديده اند. تابع لياپانوفي متشكل از مجموع انرژي جنبشي و انرژي پتانسيل سيستم، به علاوه دو تابع مجهول در نظر گرفته شده است. اين دو تابع مجهول، هر كدام تابع يكي از حالت هاي سيستم (مكان يا سرعت) هستند. اين دو تابع به شكلي تعيين شده اند كه از يكسو تابع لياپانوف مثبت معين باشد و از سوي ديگر با منفي قرار دادن مشتق زماني تابع لياپانوف، معيار پايداري ربات لامسه اي بدست آيد. شرط پايداري بدست آمده از اين روش، معياري خطي بين بيشينه سفتي قابل شبيه سازي، ضريب ميرايي جسم مجازي، ميرايي ربات لامسه اي، زمان نمونه برداري و تاخير زماني است، كه با روابطي كه قبلا توسط روش هاي خطي بدست آمده تاييد مي گردد. تحليل ارائه شده در اين مقاله از اين حيث حائز اهميت است كه مي توان اين روش را تعميم داده و با اضافه كردن ترم هايي به تابع لياپانوف محدويت هاي موجود در مساله را برطرف نموده و برخي عوامل غيرخطي را نيز در تحليل پايداري لحاظ نمود. معيار ارائه شده و نتايج حاصل از آن توسط آزمايشاتي بر روي ربات كوكا صحه گذاري شده اند.

One of the main challenges of simulating virtual objects by haptic devices is instability, especially in simulating stiff objects. In this paper, a stability criterion for a haptic device is derived using Lyapunov approach. The haptic device is modeled as a mass and viscous friction, which has to simulate the touching of a virtual environment (VE) with specified stiffness and damping. Dynamic equations and state-space equations are derived with assumption of small values of sampling time, time delay and virtual damping. A Lyapunov function is proposed, consisting of summation of kinetic and potential energy of the system, plus two unknown terms. Each one of these two unknown terms is a function of one system states (i.e. position and velocity). These two functions are determined so that, from one side the Lyapunov function is positive definite, and from the other side the stability criterion is reached with putting time derivation of the Lyapunov function negative. The stability condition determined by this method is a linear criterion between maximum permissible virtual stiffness, virtual damping of the VE, physical damping of the haptic device, sampling time and time delay, and is consistent with the results of previous researches with linear methods. The importance of the presented analysis in this paper is that this method can be extended by adding new terms to the Lyapunov function, to remove some limitations and to take into account nonlinear effects. Presented criterion and its results are verified by experiments on a KUKA robot.