استفاده از روش مسايل معكوس در اعمال مرزهاي مستغرق جامد به فرمولاسيون تاوايي-تابع جريان سيال تراكم ناپذير لزج

Using the Method of Inverse Problems in Implementing the Solid Immersed Boundaries on Vorticity-Streamfunction Formulation of the Incompressible Viscous Fluid Flow

مقاله پيش‌رو روشي جديد براي اعمال شرايط عدم لغزش عدم نفوذ بر روي مرزهاي نامنظم مستغرق در يك جريان سيال تراكم ناپذير لزج در فرمولاسيون تاوايي تابع جريان ارايه مي‌كند. در اين روش، انتگرال‌گيري در زمان به‌صورت شبه ضمني انجام مي شود، به‌نحوي كه در هر گام زماني معادلات تاوايي تابع جريان به دو معادله هلمهولتز و پواسون تبديل مي‌شوند. به سمت راست اين معادلات جمله‌هاي چشمه تكينه‌اي، در درون ناحيه جامد، اضافه مي‌شوند به‌طوري كه بتوان بر روي يك شبكه دكارتي، شرايط مرزي‌ دلخواه را به آنها اعمال كرد. جمله‌هاي چشمه با استفاده از روش مسايل معكوس به‌نحوي پيدا مي‌شوند كه شرايط مرزي مناسب به معادلات تاوايي تابع جريان اعمال شوند. در نهايت با معلوم شدن اين جملات چشمه، معادلات پواسون و هلمهولتز با استفاده از حلگرهاي سريع پواسون و هلمهولتز بر روي يك شبكه دكارتي حل مي‌شوند. به‌دليل استفاده از حل‌گرهاي سريع، اين روش‌ در دسته روش‌هاي داراي راندمان زياد، با هزينه محاسباتي از مرتبه NlogN، قرار مي گيرد؛ و همچنين سادگي اعمال آن به مسايل با مرزهاي نامنظم باعث انعطاف‌پذيري آن مي‌شود. به منظور نشان دادن توانايي‌روش در استخراج جواب‌هاي فيزيكي، روش پيشنهاد شده براي تحليل جريان در يك كانال داراي يك مانع جامد مربعي استفاده شده و انطباق نتايج با نتايج تاييد شده قبلي نشان داده شده‌است.

A new method is proposed for implementing the no-slip/no-penetration conditions at the irregular immersed boundaries on the vorticity-streamfunction formulation of the incompressible viscous fluid flow. Time integration is performed using a semi-implicit method such that at each time step the vorticity-streamfunction equations are changed to a Helmholtz and a Poisson’s equation. Some singular source terms are added to the right hand sides of these equations, in the solid region, such that the desired boundary conditions can be satisfied. The singular source terms are found, using the inverse problems method, such that the desired boundary conditions of the vorticity-streamfunction equations are satisfied. Finally, given these source terms, the Helmholtz and Poisson’s equations are solved on a Cartesian grid, using the fast Poisson (and Helmholtz) solvers. Since the fast Poisson’s (and Helmholtz) solvers are employed, the method is high performance, with the computational effort of 𝑂(𝑁log𝑁); and it is also flexible because it can be applied easily to the complex geometries. The method is applied in simulation of the fluid flow around a square solid obstacle, placed in a channel, and the agreement of the results with the other benchmark results is shown.