عنوان مقاله :
نزاع فرگه و هيلبرت: روش صحيح پرداختن به فراقضيه‌ها در دستگاه‌هاي اصل موضوعي
عنوان به زبان ديگر :
Conflict of Frege and Hilbert; The Right Way to Deal with Meta-Theorems in Axiomatic Systems
پديد آورندگان :
محمداميني، ميثم دانشگاه شهيد بهشتي
كليدواژه :
دستگاه اصل موضوعي , فرانظريه , فراقضية استقلال , فراقضية سازگاري , تحليل مفهومي , فرگه , هيلبرت
چكيده فارسي :
«منطق به صورت نامحدود ... صوري نيست. اگر چنين بود، بدون محتوا مي‌بود ... هيچ علمي كاملاً صوري نيست» (Frege, 1971:109).
در 1899، ديويد هيلبرت نظام اصلِ موضوعيِ منقحي براي هندسة اقليدسي عرضه كرد و با اثبات مشروط فراقضيه‌هاي سازگاري و استقلال براي اين نظام، راه‌حلي براي يكي از مسائل ديرپاي رياضيات (مشهور به مسئلة خطوط موازي) ارائه داد. گوتلوب فرگه، پايه‌گذار منطق صوري جديد، مخالفت‌هاي بنياديني با رويكرد فرماليستي هيلبرت و برهان‌هاي او براي فراقضيه‌هاي سازگاري و استقلال ابراز داشت. بررسي دلايل اين مخالفت نشان مي‌دهد كه ديدگاه فرگه نسبت به صوري بودن منطق و قضيه‌هاي فرانظريه‌اي به‌كلي متفاوت از ديدگاه پذيرفته‌شدة امروزي است. در اين مقاله پس از شرح مختصر روش اثبات هيلبرت براي فراقضيه‌هاي سازگاري و استقلال و همين‌طور انتقادهاي اصلي فرگه به آن، به روش پيش‌نهادي خود فرگه براي پرداختن به اين مسائل اشاره خواهم كرد و سپس به اين بحث خواهم پرداخت كه چرا در نهايت رياضي‌دانان و منطق‌دانان، به پيروي از هيلبرت، به نكته‌سنجي‌هاي فرگه وقعي ننهادند و منطق جديد با معرفي نظرية مدل گام در راهي نهاد كه از نگاه فرگه به هيچ وجه قابل قبول نبود. در پايان نتيجه‌اي كه از اين بررسي مي‌گيرم اين است كه در واقع، فرگه و هيلبرت، هر يك بر اساس انديشه‌ها و علايق خود، برداشت‌هاي متفاوتي از مفاهيمي مانند سازگاري و استقلال در دستگاه‌هاي اصل موضوعي داشته‌اند، جايي كه فرگه به دنبال «سازگاري انديشه‌اي» است هيلبرت صرفاً «سازگاري نحوي» را اثبات مي‌كند. برداشت سخت‌گيرانة فرگه از مفهوم سازگاري و استقلال دامنة پژوهش‌هاي بعدي را به‌شدت محدود مي‌ساخت، حال آن‌كه برداشت هيلبرتي امكانات وسيع و جذابي براي انجام بحث‌هاي فرانظريه‌اي فراهم مي‌آورد.
چكيده لاتين :
In 1899, David Hilbert offers an articulated axiomatic system for Euclidean geometry and, demonstrating conditionally the meta-theorems of compatibility and independence for this system, proposes a solution to one of the enduring problems of mathematics (known as the problem of parallel lines). Gottlob Frege, the founder of new formal logic, fundamentally disagreed with Hilbert’s formalistic approach and his proofs for the meta-theorems of compatibility and independence. The reasons for the opposition show that Frege's view on formality of logic and meta-theorems of compatibility and independence is very different from today's point of view.
In this paper, after briefly discussing Hilbert’s method in demonstrating meta-theorems of compatibility and independence, and also the main Frege’s objections toward it, I will indicate to Frege’s own method dealing with these issues, and then discuss why eventually mathematicians and logicians, following Hilbert, ignored Frege’s remarks and modern logic, proposing a model theory, stepped on a road which was for Frege a wrong way.
