ارتعاشات آزاد طولي ميله با سطح مقطع متغير تحت كرنش محدود

Longitudinal Free Vibrations of a Rod with Variable Cross-Section Undergoing Finite Strain

ارتعاش انواع مختلف از سازه‌ها مانند تير، صفحه، پوسته و ميله توسط محققان به‌ خاطر كاربرد آنها در محدوده وسيعي از سيستم‌هاي مكانيكي بررسي شده است. ارتعاش طولي ميله‌ها مورد توجه زيادي است به‌طوري كه محققان به‌صورت عددي يا تحليلي و دقيق يا تقريبي به آن پرداخته‌اند. در اين تحقيق، ارتعاش آزاد طولي غيرخطي ميله با سطح مقطع متغير تحت كرنش محدود، مورد بررسي قرار گرفته است. ابتدا معادلات حاكم بر ميله با سطح مقطع مخروطي كه معادلات ديفرانسيل پاره‌اي غيرخطي است به‌دست آمد. سپس معادلات به‌وسيله روش گلركين و با درنظرگرفتن يك شكل مود، به معادلات ديفرانسيل معمولي غيرخطي تبديل شده است. مساله براي شرايط مرزي دوسرگيردار و يك‌سر گيردار- يك‌سر آزاد بررسي شده است. با استفاده از روش مقياس‌هاي چندگانه، معادله به‌صورت تحليلي حل شده است. معادله ديفرانسيل معمولي با روش عددي رانگ- كوتاي مرتبه چهار هم حل‌شده و سپس حل تحليلي با آن مقايسه شده است. تاثير دامنه و آهنگ تغيير سطح مقطع بر نسبت فركانس خطي به غيرخطي براي ميله و همچنين تاثير شرايط اوليه مختلف آهنگ تغيير سطح مقطع و ضريب ميرايي با شكل نشان داده شده است. نتايج نشان داد كه سطح مقطع مخروطي تاثير قابل توجهي در نسبت فركانس خطي به غيرخطي به دامنه ارتعاشات دارد. ضريب ميرايي تاثير كم و شرايط اوليه تاثير قابل ملاحظه‌اي روي روند مساله داشته است.

Vibration of various types of structures such as beam, plate, shell, and rod have been investigated by researchers for their application in a wide range of mechanical systems. The longitudinal vibration of the rods is of great interest, so that the researchers have performed them numerically or analytically and precise or approximate. In this research, the nonlinear longitudinal free vibration of rod with variable cross-section under finite strain has been investigated. First, the governing equations of the rod with variable cross-section were obtained, which are partial differential equations; then, they were transformed to nonlinear ordinary differential equations, using the Galerkin method with considering one mode shape. The problem was investigated for two boundary conditions. Using the multiple scales method, the equations were analytically solved. The differential equations are solved by Runge-Kutta numerical method of order 4, and then compared with the analytical solutions. The effect of the amplitude and rate of changing cross-section on the ratio of linear to nonlinear frequency and also the effect of different initial condition, rate of changing cross-section and coefficient of damper were shown in figure. The results show that the tapered cross-sectional area has a significant effect on the ratio of linear to nonlinear frequency to vibrations amplitude. The coefficient of damper has a little effect and initial condition has a considerable effect on the process of problem.