حل تحليلي معادلات امواج در جريان‌ لزج داراي حباب گازي، با در نظر گرفتن انتقال حرارت

Analytical Solution of Wave Equations in Viscous Flow with Gas Bubbles and Heat Transfer Considerations

ابتدا، هدف اين مقاله به دست آوردن معادلات غيرخطي براي توصيف امواج فشار در يك جريان لزج حاوي حباب­ هاي گازي مي­ باشد. بدين منظور، معادلات غيرخطي مرتبه چهارم و بعضي از موارد خاص آن­ها براي توصيف تغييرات فشار امواج در تركيب حباب­ هاي گاز در مايع در نظر گرفته شده است. سپس، با در نظر گرفتن تاثير لزجت و وجود انتقال حرارت، يك رابطه ديفرانسيلي بين فشار تركيب مايع و گاز نسبت به تغييرات شعاع حباب­ هاي گازي به­ دست آمده است. نشان داده شد كه معادلات برگرز، كا دي وي و كا دي وي- برگرز حالت­ هاي خاصي براي توصيف فشار امواج در اين مورد مي ­باشند. همچنين، يك روش بسط معرفي شد كه به كمك آن مي ­توان جواب­ هاي دقيق معادلات ديفرانسيل غيرخطي را بدون نياز به شرايط اوليه و مرزي به ­دست آورد. در اين روش، با انتخاب ثابت­ هاي خاص در جواب ­هاي به ­دست ­آمده، جواب­ هاي بيشتري از معادلات امواج در جريان­ هاي لزج قابل محاسبه مي­ باشد. اين ويژگي­ ها برتري روش معرفي شده را نسبت به ساير روش­ها نشان م ي­دهد. علاوه ­بر اين، جواب ­هاي دقيق اين معادلات كه كاربردهاي فراواني در علوم و مهندسي دارند، به كمك روش بسط به ­دست آمده ­اند.

The first purpose of this paper was to obtain non-linear equations for describing pressure waves in a liquid with gas bubbles. For this purpose, non-linear equations of fourth order and some of their special cases for describing pressure waves in a mixture of fluid and gas were considered. Then, considering the influence of heat transfer and viscosity in fluid, a differential relation between pressure and perturbation radius of gas bubbles is obtained. It is shown that the Burgers, the KdV and KdV- Burger’ equations are special cases for describing pressure waves. Also, we introduced a GG-expansion method, which can obtain exact solutions of non-linear differential equations without requiring the boundary and initial conditions. In this method, by choosing special constants in the obtained solutions, more solutions of these equations can be obtained. These features exhibit the superiority of the introduced approach. compared to the other methods. Furthermore, exact solutions of these equations are obtained using GG-expansion method, which has many applications in science and engineering.