اعمال مرزهاي جامد صلب به فرمول بندي تاوايي- تابع جريان معادلات ناوير- استوكس تراكم ناپذير از طريق اعمال اتساع زماني

Implementation of Rigid Solid Boundaries to the Vorticity- Stream Function Formulation of Incompressible Navier- Stokes Equations by Time Dilation

در اين مقاله روش بازنهشتي جديدي براي اعمال شرط مرزي جسم جامد به معادلات ناوير- استوكس در فرمول بندي تاوايي- تابع جريان ارايه شده است. در اين روش، جسم جامد مانند ناحيه اي درون سيال در نظر گرفته مي شود كه در آن گذر زمان متوقف شده است و بدين ترتيب با توقف ذرات سيال، اين ناحيه نقش جسم جامد صلب را بازي مي كند. بدين منظور با استفاده از يك نگاشت، ضريب اتساع زماني دلخواه به معادلات حاكم اعمال مي شود و معادلات اصلاح شده اي به دست مي آيند. سپس در معادلات اصلاح شده، ضريب اتساع زماني ناحيه جامد به سمت بي نهايت ميل داده مي شود، در حالي كه در ناحيه سيال، اين ضريب واحد باقي مي ماند. در مقاله ويژگي هاي فيزيكي و رياضي، معادلات اصلاح شده بررسي شده و نحوه اعمال شرايط عدم لغزش و عدم نفوذ تشريح شده است. سپس الگوريتم عددي مناسبي براي حل معادلات اصلاح شده ارايه شده است. در الگوريتم ارايه شده، انتگرال گيري زماني معادله اصلاح شده تاوايي با روش كرانك- نيكلسون و گسسته سازي مكاني، با دقت مرتبه دوم روي يك شبكه دكارتي يكنواخت صورت مي پذيرد. روش براي حل عددي جريان، حول يك جسم مربعي درون يك كانال و جريان عمود بر يك صفحه تخت نازك و جريان حول استوانه دايروي استفاده شده است. نتايج نشان مي دهند كه شرايط عدم لغزش و عدم نفوذ روي مرز مستور با دقت بسيار زيادي ارضا مي شوند، در حالي كه ميدان جريان نيز با دقت بسيار زيادي بقايي باقي مي ماند.

In the present paper, a new penalization method is proposed for implementation of the rigid surfaces on the Navier-Stokes equations in the vorticity-stream function formulation. In this method, a rigid body is considered as a region in the fluid flow, where the time is stopped. Therefore, by stopping the fluid particles, this region plays the role of a rigid body. In this regard, a new transformation is introduced and applied to the governing equations and a set of modified equations are obtained. Then, in the modified equations, the time dilation of the solid region is approached to infinity, while the time dilation of the fluid region remains unit. In the article, the physical and mathematical properties of modified equations are investigated and satisfaction of the no-slip and no-penetration conditions are justified. Then, a suitable numerical algorithm is presented for solving the modified equations. In the proposed algorithm, the modified vorticity equation is time integrated via the Crank–Nicolson method, and the spatial discretization is performed with the second-order finite differencing on a uniform Cartesian grid. The method is applied to the fluid flow around a square obstacle placed in a channel, the sudden flow perpendicular to a thin flat plate, and the flow around a circular cylinder. The results show that the no-slip and no-penetration conditions are satisfied accurately, while the flow fields are also solenoidal high level of accuracy.