اصلاح روش تبديل ديفرانسيلي دو بعدي براي حل مسائل ديريكلۀ همگن؛ مسألۀ نمونه: انتقال حرارت در ميله‌ها

Enhanced Two-Dimensional Differential Transform Method for Solving Homogenous Dirichlet Problems; Application: Heat Transfer in Bars

در اين مقاله، راهكاري براي بهبودِ روشِ تبديلِ ديفرانسيليِ دو بعدي در حلِ مسائلِ مقدارِ مرزي ـ اوليه‌ي شاملِ معادلۀ ديفرانسيل با مشتقاتِ جزئي و شرايطِ مرزيِ ديريكلۀ همگن، با الهام از روشِ تغييراتيِ ريتز پيشنهاد شده است. براي اين منظور، با ضرب كردنِ رابطۀ اساسيِ روشِ تبديلِ ديفرانسيلي در توابعي معلوم كه سببِ ارضاءِ شرايطِ مرزيِ مسأله مي‌شوند، مشكلِ عدمِ ارضاءِ دقيقِ شرايطِ مرزي كه روشِ تبديلِ ديفرانسيليِ دو بعديِ مرسوم از آن رنج مي‌برد، بطورِ كامل مرتفع مي‌گردد. البته بديهي است با اين كار، روابط و قوانينِ حاكم بر روشِ مرسوم و از جمله، رابطۀ بازگشتيِ متناظر با معادلۀ ديفرانسيلِ مسأله تغيير مي‌كنند كه اين تغييرات، به شكلِ مبسوط در مقاله تشريح شده‌اند. در ادامه، براي نشان دادنِ كاراييِ روشِ پيشنهادي، دو مسألۀ انتقالِ حرارت در ميله‌ها، يكي با ضريبِ پخشِ گرماييِ ثابت و ديگري با ضريبِ پخشِ متغير و وابسته به مختصۀ مكانيِ ميله، هم بطورِ دقيق و هم با استفاده از دو راهكارِ تبديلِ ديفرانسيليِ مرسوم و بهبوديافته حل شده و نتايجِ حاصل، در قالبِ جداول و نمودارهايي، با يكديگر مقايسه شده‌اند. خوشبختانه، مجموعه نتايجِ عدديِ به‌دست آمده، نشاندهندۀ مؤثر بودنِ روش پيشنهادي و برطرف شدنِ مشكلِ عدمِ ارضاءِ دقيقِ شرطِ مرزيِ ديريكلۀ همگن در مسائلِ مقدارِ مرزي است.

In this article, a new method has been proposed to enhance two-dimensional differential transform method (2D-DTM) for solving initial boundary value problems (IBVPs) including partial differential equations (PDEs) with homogeneous Dirichlet boundary conditions. The method is inspired by the Ritz method which is utilized in variational calculus. To this end, multiplying the basic relation of DTM by specific functions which satisfy the boundary conditions, would resolve the weakness of the classical version of 2D-DTM in precisely satisfying the boundary conditions. Obviously, implementing this will change the governing relations of the classical DTM, such as recursive formula related to differential equation of the problem. It should be mentioned that, these changes are comprehensively described in the article. Moreover, to show the robustness of the proposed method, two heat transfer problems in the bars are thoroughly solved by classical and enhanced DTM and the results are compared with the exact solutions. The thermal diffusivity of the bar is considered constant and spatially varied in mentioned problems. The numerical results show the accuracy of the proposed method, especially in satisfying the homogeneous Dirichlet boundary conditions of the problem.