توسعه توابع شكل و توابع پايه‌ي شعاعي جديد هنكل كروي در بهينه‌سازي توپولوژي‌ سازه به روش سطح تراز

در اين مقاله، از توابع پايه هنكل كروي جهت بهينه­سازي توپولوژي سازه با استفاده از روش سطح تراز استفاده شده است. توابع پيشنهادي، تركيبي از ميدان توابع بسل نوع اول و دوم و همچنين ميدان توابع چند جمله‌اي در فضاي مختلط و برگرفته از توابع پايه‌ي شعاعي هستند. با استفاده از توابع هنكل كروي، وابستگي تابع مجموعه سطوح تراز به مكان و زمان از يكديگر جدا گشته و اين سبب تبديل ‌شدن معادله ديفرانسيل با مشتقات جزئي هميلتون-ژاكوبي به يك معادله ديفرانسيل معمولي مي­شود. بدين طريق، مشكلات ناشي از حل معادله ديفرانسيل با مشتقات جزئي برطرف شده و در نتيجه نيازي به مقداردهي مجدد تابع مجموعه سطوح تراز در فرايند بهينه‌سازي نمي‌باشد. در ادامه، جهت افزايش سرعت و دقت همگرايي در ايجاد طرح بهينه، توابع شكل هنكل كروي جايگزين توابع شكل كلاسيك لاگرانژ مي‌شود. توابع شكل پيشنهادي علاوه بر ارضاي خاصيت دلتاي كرونكر و افراز واحد، بي‌نهايت مشتق‌پذير بوده همچنين توابع پيشنهادي به لحاظ دارا بودن هر سه ميدان توابع چند جمله‌اي، بسل نوع اول و دوم در فضاي مختلط مي‌تواند در بهبود دقت و سرعت همگرايي مؤثر باشند در حالي كه در توابع شكل كلاسيك لاگرانژ تنها ميدان توابع چند جمله­اي اغنا مي­شود. در انتها چندين مثال عددي جهت بررسي عملكرد توابع پايه‌ي شعاعي هنكل كروي و توابع شكل هنكل كروي بيان ‌شده است.

Shape and topology optimization have become one of the main researches that is widely used in engineering fields. The purpose of topology optimization is to find an appropriate (optimal) distribution of materials in the design domain so that the shape and number of voids is optimized and the objective function is minimized or maximized. In recent decades, noticeable researches and various topology optimization methods were proposed. The level set method is being used successfully in structural shape and topology optimization. This method is an implicit method for moving interior and exterior boundaries, while these boundaries may join together during the process and new voids may be formed. The structural boundary is illustrated by the zero level set and nonzero in the domain. In the above context, the level set function is used as a switch to distinguish between the two domains present in the computing space. This way of illustration has an important feature by which the domain boundaries can be combined together or divided. By using the solution of Hamilton-Jacobi equation resulting from this function, the domain’s boundary starts to move. The control over movement of this boundary is done by velocity vector of Hamilton-Jacobi equation. Now, in order to use this method in topology optimization, it is sufficient to establish a relationship between velocity vector of Hamilton-Jacobi and shape derivation, which is used for optimizing objective function. It is possible to use standard level set for structural topology optimization.