نماي حاصلضرب تانسوري سه تايي p_گروه ها

On the Exponent of Triple Tensor Product of p-Groups

حاصل‌‌‌‌‌‌‌‌ضرب تانسوري ناآبلي گروه‌ها كه در ـk نظريه جبري و توپولوژي جبري ريشه دارد نخستين بار در سال 1987 توسط براون و لودي معرفي شد. از آن پس به عنوان يك موضوع مستقل در نظريه گروه‌ها، مطالعات فراواني بر روي آن صورت گرفت. به ويژه پاره‌اي تلاش‌ها در خصوص به‌‌دست آوردن رابطه‌اي معنادار بين نماي يك گروه و نماي مربع تانسوري ناآبلي آن، به انجام رسيده است. اما در حالتي‌كه تعداد دفعات تانسور يك گروه با خودش افزايش مي‌‌يابد، به دليل پيچيدگي و ازدياد محاسبات، مطالعه چنداني صورت نگرفته است. در اين مقاله ما برآنيم كه در حالت تانسور سه‌تايي يك گروه، نتيجه بهتري نسبت به گذشته در مورد نماي آن ارائه كنيم. فرض كنيد G يك گروه پوچ‌توان از رده پوچ‌ تواني k≥3 و داراي نماي p^e باشد كه p يك عدد اول و مخالف 3 است. ما در اين مقاله نشان مي‌دهيم نماي حاصل‌ضرب تانسوري سه‌تايي G، يعني‌ G⊗G)⊗G)، عدد p^([k/2]-1)e را مي‌شمارد كه در آن [k/2] كوچك‌ترين عدد صحيح بزرگ‌تر يا مساوي k/2 مي‌باشد. بدين ترتيب نماي ارائه شده توسط اليس، بهبود مي‌يابد.

The non-abelian tensor product of groups which has its origins in algebraic K-theory as well as in homotopy theory, was introduced by Brown and Loday in 1987. Group theoretical aspects of non-abelian tensor products have been studied extensively. In particular, some studies focused on the relationship between the exponent of a group and exponent of its tensor square. On the other hand, computation of c-fold tensor products is generally a difficult problem. Several authors have given upper bounds for the order of G, when G is a finite p-group. In this paper we determine a bound for the exponent triple tensor product which sharpens a bound of G. Ellis. Let G be a nilpotent group of nilpotency class k≥3 and prime power exponent P^e (where p is a prime and is not equal 3). In this paper, we show that the exponent of triple tensor product of G, that is, (G⨂G)⨂G, divides P^([k/2]-1)e where [k/2] denotes the smallest integer n such that n≥k/2. In this way, the exponent provided by Ellis is improved.