بررسي روش هاي مختلف معرفي فورسينگ

Study of Different Methods of Introducing Forcing

روش فورسينگ كوهن يكي ازمهمترين ابزارهاي نظريه مجموعه ها براي ساختن مدل هاي از ZFC مي باشد. در اين مقاله روش هاي مختلف معرفي فورسينگ را بررسي كرده و نشان مي-دهيم همه آنها با هم معادل هستند. . ابتدا روش فورسينگ را به كمك مجموعه هاي جزيا مرتب بيان مي كنيم و بعضي از خواص اساسي آن را ذكر مي كنيم. سپس روش مدل هاي جبر بولي-مقدار را مي آوريم و نشان مي دهيم كه اين رويكرد به فورسينگ با روش اول معادل است. اين كار با نشان دادن اينكه هر مفهوم فورسينگ را مي توان به طور چگال در يك جبر بولي كامل نشاند صورت مي پذيرد. سپس به معرفي فورسينگ از ديدگاه توپولوژي مي پردازيم و ارتباط آن را با روش مجموعه هاي جزيا مرتب مي آوريم. نشان خواهيم داد رابطه فورسينگ كه از ديدگاه توپولوژيكي معرفي مي شود با رابطه فورسينگ كه از ديدگاه مجموعه هاي جزيا مرتب تعريف شده يكي است و بنابراين اين دو روش اساسا يكي هستند. سرانجام به معرفي فورسينگ از ديدگاه نظريه رسته ها پرداخته و ارتباط آن را با روش مدل-هاي جبر بولي-مقدار مي آوريم. نشان مي دهيم كه براي يك جبر بولي كامل رسته شيف هاي روي آن را مي توان با جهان بولي مقدار ساخته شده توسط آن جبر بولي يكي گرفت.

Cohen’s method of forcing is one of the main tools in set theory for constructing models of ZFC. In this paper, we consider different methods of introducing forcing, and show that they are all equivalent. First we introduce the method of forcing using partial orders and state some of its basic properties. Then we consider the method of Boolean-valued models and show that it is equivalent to the first approach using partial orders. We do this by showing that each forcing notion can densely be embedded into a complete Boolean algebra. Then we introduce the topological approach to forcing and compare it with the partial order approach to forcing. We show that the forcing relation defined in a topological manner is the same as the forcing relation defined using partial orders and hence these two methods are essentially identical. Finally we consider the categorical approach to forcing and compare it with the method of Boolean-valued models. We show that for a given complete Boolean algebra, the category of sheaves over it is essentially the same as the Boolean-valued model constructed using that Boolean algebra.