حل تقريبي مسايل مقدار اوليه و مرزي با استفاده از بهينه‌سازي بر اساس روش هم‌مكاني چندجمله‌اي برنشتاين

Approximate Solution of Initial and Boundary Value Problems Using Optimization Based on Bernstein Polynomial Collocation Method

روش‌ هم‌مكاني در حل انواع معادلات ديفرانسيل بسيار متداول است. مشكل اصلي در اين روش‌ اين است كه ماتريس ضرايب با افزايش درجه تقريب بدشرط مي‌شود. اين مي‌تواند باعث برخي مشكلات عددي و كاهش در دقت جواب شود. در اين مطالعه، سه روش‌ بر اساس تركيب روش هم‌مكاني برنشتاين و روش‌هاي بهينه‌سازي براي جواب تقريبي مسايل مقدار اوليه و مرزي شامل معادلات ديفرانسيل خطي با ضرايب متغير پيشنهاد شده است. در اين روش‌ها، جواب تقريبي مساله با استفاده از جواب يك مساله كم‌ترين مربعات خطي مقيد يا يك مساله برنامه‌ريزي خطي به دست مي‌آيد. براي بررسي كارايي روش‌ها، مسايل آزمايشي از مرتبه‌هاي مختلف در نظر گرفته شده و نتايج به دست آمده با نتايج گزارش شده از روش‌هاي ديگر مقايسه مي‌شوند. بررسي‌ها نشان مي‌دهند كه روش‌هاي پيشنهاد شده دقيق، كارا و داراي پايداري عددي خوبي هستند.

The collocation method is very common in solving different types of differential equations. A main difficulty of this method is that its coefficient matrix becomes ill-conditioned when the degree of approximation increases. This can cause numerical troublesome and decreases the accuracy of the solution. In this study, three methods are proposed based on the combination of Bernstein collocation and optimization methods for approximate solutions of initial and boundary value problems involving linear differential equations with variable coefficients. In these methods, the approximate solution of the problem is obtained using the solution of a constrained linear least squares problem or a linear programming problem. To investigate the effectiveness of the methods, experimental problems of the different orders are considered and the results are compared with the results reported from other methods. Studies show that the proposed methods are accurate, efficient and have good numerical stability.