مطالعه تشديدهاي غيرخطي اوليه و ثانويه نانوتير برپايه تئوري گراديان كرنش غيرموضعي

Study of Primary and Secondary Nonlinear Resonances of Nanobeam Based on Nonlocal Strain Gradient Theory

در اين مقاله، ارتعاشات واداشته غيرخطي نانوتير غيرموضعي اويلر- برنولي كه داراي كاربرد در سيستم‌هاي نانوالكترومكانيكي مي‌باشد، با استفاده از روش تحليلي مقياس‌هاي زماني چندگانه مطالعه مي‌شود. معادله حاكم بر نانوتير اويلر- برنولي، با در نظر گرفتن غيرخطي هندسي فون كارمن و براساس تئوري‌ الاستيسيته گراديان كرنش غيرموضعي با استفاده از اصل هميلتون استخراج ميگردد. در گام بعد با بكاربردن روش گالركين، معادلات ديفرانسيل جزئي حاكم با شرايط مرزي دو انتها تكيه‌گاه ساده، به معادله ديفرانسيل غيرخطي معمولي با متغير زمان كاهش پيدا مي‌كند. در ادامه، معادله ارتعاشات غيرخطي واداشته، با استفاده از روش مقياس‌هاي زماني چندگانه حل مي‌شود. پس از حل معادله غيرخطي اجباري، تشديدهاي اوليه و ثانويه نانوتير غيرموضعي، مطالعه مي‌شود. ناحيه جواب‌هاي قابل قبول براي تشديد ساب هارمونيك مشخص شده و منحني‌هاي پاسخ فركانسي و دامنه پاسخ برحسب دامنه تحريك، براي تشديدهاي اوليه، سوپر هارمونيك و ساب هارمونيك، به ازاي مقادير مختلف پارامتر غيرمحلي، رسم مي‌شود. اين نتايج نشان مي‌هد كه استفاده از تئوري گراديان كرنش غيرموضعي براي تحليل ارتعاشات غيرخطي نانوتير يك ضرورت اساسي است. نتايج اين مقاله مي‌تواند جهت بهبود طراحي و بهينه‌سازي سيستم‌هاي نانوالكترو مكانيكي، مورد استفاده قرار گيرد.

In this paper, the nonlinear forced vibrations of nonlocal Euler-Bernoulli nanobeam that is utilized in nanoelectromechanical systems are studied using the analytical method of multiple time scales. Based on non-linear strain gradient elasticity theory, governing equation of Euler-Bernoulli nanobeam with vonkarman geometric nonlinearity is derived using Hamilton principle. In the next step, using the Galerkin method, the partial differential governing equations for simply supported boundary conditions are reduced to time variable ordinary nonlinear differential equation. Subsequently, the nonlinear forced vibration equation is solved using a multiple time scalar method. After solving the nonlinear excited equation, primary and secondary resonances of nonlocal nanobeam are studied. The region of acceptable subharmonic responses is identified and for different values of nonlocal parameter, the frequency response curves and response amplitudes versus excitation amplitude is plotted in all resonances as primary, superharmonic and sub-harmonic. These results show that using nonlocal strain gradient theory is a fundamental necessity for analyzing nonlinear vibration of nanobeams. The results of this paper can be used to improve the design and optimization of nanoelectromechanical systems.