محاسبه‌ي چندجمله‌اي‌هاي لاگرانژ به روش بازگشتي با استفاده از نقاط گرهي چبيشف

در مباحث مربوط به تئوري تقريب، براي تقريب زدن يك تابع پيچيده با استفاده از يك چندجمله‌اي، از درون‌يابي استفاده‌مي‌شود. براي به‌دست‌آوردن ضابطه‌ي چندجمله‌اي مورد نظر از روش‌هاي مختلفي مي‌توان استفاده‌كرد. يكي از روش‌هاي مرسوم در محاسبه‌ي چندجمله‌هاي درون‌ياب، روش درون‌يابي لاگرانژ است. به علاوه در اين نوع مسائل نحوه‌ي توزيع نقاط گرهي يكي از عوامل تأثيرگذار بر دقت درون‌يابي است؛ به عنوان مثال اگر براي تقريب‌زدن يك تابع با استفاده از چندجمله‌اي‌ها، از نقاط گرهي هم‌فاصله استفاده‌شود، دقت درون‌يابي در ابتدا و انتهاي بازه‌ي نمونه‌برداري مطلوب‌نخواهدبود. براي غلبه بر اين مشكل بايد نحوه‌ي توزيع نقاط گرهي به گونه‌اي باشد كه در ابتدا و انتهاي بازه‌ي درون‌يابي نسبت به مركز بازه از تراكم بيشتري برخوردار باشند. يك نمونه از مجموعه‌ نقاطي با اين شرايط، مجموعه‌ي ريشه‌هاي چندجمله‌اي‌هاي چبيشف هستند كه به نقاط گرهي چبيشف معروف‌اند. با استفاده از اين نقاط به عنوان نقاط گرهي، دامنه‌ي نوسان‌هاي چندجمله‌اي در دو طرف بازه‌ي درون‌يابي بسيار كوچك‌ خواهدبود كه اين مسأله موجب افزايش دقت درون‌يابي مي‌شود. با توجه به كاربردهاي ذكرشده براي استفاده از نقاط چبيشف در اين نوع مسائل درون‌يابي، در اين مقاله يك رابطه‌ي بازگشتي براي محاسبه‌ي توابع پايه‌ي لاگرانژ با استفاده از اين نقاط ارائه‌مي‌شود. با استفاده از اين روش تعداد عملگرهاي محاسباتي مورد نياز جهت به‌دست‌آوردن توابع پايه‌ي لاگرانژ، تا حد قابل‌توجهي كاهش‌مي‌يابد. از اين رو انتظار مي‌رود كه با به‌كارگيري اين روش ، سرعت انجام محاسبات در فرآيند درون‌يابي افزايش‌يابد. براي بررسي اين مسأله در ادامه‌ي مقاله، توابع پايه‌ي لاگرانژ در يك مسأله‌ي درون‌يابي با استفاده از هر دو روش محاسبه‌شدند. پس از محاسبه‌ي اين توابع براي تمام اعداد صحيح در بازه‌ي ]1000,1[ و براي چندجمله‌اي‌هاي از درجه‌ي 1 تا 10، مشخص‌شد كه استفاده از روش بازگشتي در محاسبات، تا چند برابر سريع‌تر از روش معمولي است؛ به گونه‌اي كه براي چندجمله‌اي درجه‌ي 1 روش بازگشتي 1.3 برابر سريع‌تر از روش معمولي بوده‌است. با افزايش درجه‌ي چندجمله‌اي اين اختلاف افزايش‌يافته و براي چندجمله‌اي درجه‌ي 10 روش بازگشتي تا 3 برابر سريع‌تر از الگوريتم معمولي عمل‌كرده‌است؛ بنابراين استفاده از روش ارائه‌شده به خصوص در مواردي كه از چندجمله‌اي‌هاي با درجات بالا براي درون‌يابي استفاده‌مي‌شود، كاملاً توجيه‌پذير است.