K -قاب از ضربگرها در فضاهاي-C*-pro مدول هيلبرتي

K-Frame of multipliers in Hilbert pro-C*-module

گاوارتا براي مطالعه‌ي سيستم‌هاي اتمي كه اولين بار توسط فيشتينگر و همكارانش معرفي شده بود، K-قاب‌ها روي فضاهاي هيلبرت را ارائه كرد. K-قاب‌ها نوعي از قاب‌ها هستند، كه كران پايين آنها فقط براي عناصر برد عملگر خطي كراندار K در فضاي هيلبرت برقرار است. C* جبري كه توپولوژي آن به جاي يك C*-نرم توسط خانواده‌اي از C*-نيم‌نرم‌هاي پيوسته القا شود -C*-proجبر مي‌نامند. فضاهاي C*-pro-مدول هيلبرتي تعميمي از فضاهاي هيلبرت است، هرگاه ضرب داخلي مقادير بيشتري را از اعداد مختلط، يعني مقاديري از C*-pro-جبر اختيار كند. در اين مقاله دنباله‌اي كه عناصر آن عملگرهاي الحاق‌پذير از -C*-proجبر به فضاي C*-pro -مدول هيلبرتي است، را دنباله ضربگرها مي‌ناميم. مفهوم سيستم‌هاي اتمي و K-قاب از ضربگرها در فضاهاي -C*-pro مدول هيلبرتي را معرفي مي‌كنيم و براي تفهيم بيشتر مثالي از K-قاب‌ها را ارائه مي‌دهيم. شرطي كه دنباله‌اي از ضربگرها قاب باشد، را به‌دست مي‌آوريم و ارتباط سيستم‌هاي اتمي و K-قاب‌ها با يكديگر و قاب از ضربگرها را بررسي مي‌كنيم. اگر K عملگري كراندار با شرايطي خاص باشد هر K-قاب يك قاب از ضربگرها در فضاي C*-pro-مدول هيلبرتي است. همچنين برخي خواص اين مفاهيم مانند تركيب عملگرها با K-قاب‌ها در فضاي C*-pro-مدول هيلبرتي را تحقيق مي‌كنيم.

For the study of atomic systems, first introduced by Feichtinger et al. Gavruta presented K-frames on Hilbert spaces. K-frames are a kind of frames in sense that the lower frame bound only holds for the elements in the range of the K, where K is a bounded linear operator in Hilbert space. C*-algebra whose topology is induced by a family of continuous C*-seminorms instead of a C*-norm is called pro-C*-algebra. Hilbert pro-C*-modules are generalizations of Hilbert spaces by allowing the inner product to take values in a pro-C*-algebra rather than in the field of complex numbers. In this paper, the sequences whose elements are adjointable operators from pro-C*-algebra into Hilbert pro-C*-module is called the sequence of multipliers. We introduce the concept atomic systems and K-frame of multipliers in Hilbert pro-C*-modules and for more information, we give an example of K-frames. We obtain a condition that sequences of multipliers is frame, also we investigate the relationship between atomic systems and K-frames with each other and the frame of multipliers. If K is a bounded operator with certain conditions then every K-frame of multipliers is a frame of multipliers in Hilbert pro-C*-module. Also, we investigate some of the properties of these concepts, such as the combination of operators with K-frames in Hilbert pro-C*-module.