مشخصه‌سازي خانواده‌هاي α- حلال با كران چند جمله اي

Characterization of polynomially bounded α-resolvent families

نظريه خانواده هاي α-حلال، بعنوان يك توسيع از تئوري نيم گروه هاي پيوسته قوي و خانواده عملگرهاي كسينوسي با هدف مطالعه ي معادلات تحولي كسري با مشتق كاپوتو از مرتبه α گسترش زيادي پيدا كرده است. يكي از مسائل مهم در نظريه نيم گروه هاي پيوسته قوي، همچنين خانواده هاي كسينوسي بحث پيدا كردن كران هاي متفاوتي براي اين خانواده ها (بر حسب مولد آنها) است. در اين مقاله، خانواده‌هاي α-حلال با كران چندجمله‌اي مورد مطالعه قرار مي گيرند. در واقع شرايطي روي حلال يك عملگر با دامنه‌ي چگال بيان مي‌كنيم كه يك خانواده ‌α-حلال چند جمله‌اي كراندار توليد كند. همچنين ثابت مي‌كنيم كه اين شرايط در فضاي هيلبرت لازم نيز هستند. با توجه به اينكه خانواده‌هاي حلال توسيع نيم‌گروه‌هاي پيوسته قوي هستند، نتايج به‌دست آمده تعميمي از قضاياي اثبات شده توسط آيزنر براي نيم گروه هاي چند جمله اي كراندار مي‌باشد. از طرفي، چون جواب هاي معادلات تحولي كسري بر حسب خانواده هاي α-حلال بيان مي شود لذا توسط اين نتايج، همزمان در مورد وجود و پايداري جواب هاي اين مسئله ها بحث مي شود.

The theory of α- resolvent families was developed as a generalization of the classical theory of strongly continuous semigroups and cosine operator families, to study the fractional evolution equations with Caputo derivative of order α. An important problem in semigroup theory and also for cosine operator families is to discuss different type of boundedness (in terms of their generator) for these families. In this paper, we study polynomially bounded α- resolvent families. We impose conditions on the resolvent of a closed and densely defined linear operator to be the generator of an α-resolvent family. We also show that these conditions are necessary in the case of Hilbert spaces. This generalizes the result by T. Eisner on polynomially bounded semigroups. Moreover, since α- resolvent families describe the solutions to fractional evolution equations, with this generation result, we discuss the existence and stability of solutions to these problems at the same time.