بررسي جبرهاي باناخ تصويري تقريبي

An investigation of approximately biprojective Banach algebras

مفهوم جبرهاي باناخ تصويري تقريبي توسط پورمحمود آقابابا [15]، آريستوف [2]، و ژانگ[19] معرفي شده كه هريك از جنبه متفاوتي تقريب را مد نظر قرار داده‌اند. در اين مقاله تعريف ارائه شده توسط پورمحمود آقابابا را مبنا قرار مي‌دهيم كه ضمن اينكه عمومي تر بوده و شرايط محدود كننده به مراتب كمتري دارد، داراي مثال‌هاي متنوع و جالب از رده‌هاي گوناگون جبرهاي باناخ نيز مي‌باشد. چندين ويژگي موروثي از اين مفهوم را مورد بررسي قرار مي‌دهيم، در حقيقت نشان مي‌دهيم كه تصويري تقريبي بودن دوگان دوم جبر باناخ تحت ضرب آرنز، تصويري تقريبي بودن خود را ايجاب مي‌كند. در ادامه تصويري تقريبي بودن را روي جبرهاي باناخ ادغامي كه يك تعميم مبتكرانه از جمع مستقيم جبرهاي باناخ است و شامل يكدار شده، ضرب لائو، ضرب نيم مستقيم و توسيع مدولي جبرهاي باناخ مي‌شود، مطالعه مي‌كنيم. ثابت مي‌كنيم جمع‌وند اول در يك جبر باناخ ادغامي تصويري تقريبي، تصويري تقريبي است در صورتيكه براي دست يافتن به نتيجه مشابه روي جمع‌وند دوم مفروضات بيشتري نياز خواهد بود.

The concept of approximately biprojective Banach algebras has been introduced by Pourmahmood-Aghababa [15], O. Ya. Aristov [2] and Y. Zhang [19] in different aspects of approximation. Here we follow the definition provided by Pourmahmood-Aghababa that is more general with an abundant amount of various interesting examples, and less restrictive conditions. In this paper, some hereditary properties of this notion are investigated. Indeed, we show that approximate biprojectivity of the second dual of a Banach algebra A (equipped with Arens product) implies approximate biprojectivity of A. This concept is also investigated on amalgamated Banach algebras that are genuine generalization of the direct sum of Banach algebras and includes the unitization, the Lau product, the semidirect product, and the module extension Banach algebras. We prove that the first summand in an approximately biprojective amalgamated Banach algebra is approximately biprojective, while for approximate biprojectivity of the second summand some additional hypothesis are necessary.