روش افراز واحد توابع پايه شعاعي مبتني بر تفاضلات متناهي براي حل معادله ديفرانسيل جزيي تصادفي سهموي

A RBF partition of unity collocation method based on a finite difference scheme to solve parabolic stochastic partial differential equations

روش توابع پايه ­اي شعاعي يك روش بدون شبكه براي حل معادلات ديفرانسيل جزيي تصادفي بوده و به دليل خاصيت شعاعي، به كارگيري آن در ابعاد بالا با دشواري­هاي كمتري همراه است و دقت طيفي براي انواع معيني از آن­ها دست يافتني است. به­علاوه بر روي دامنه­هاي نامنظم به خوبي قابل استفاده است. اما بسياري از توابع پايه اي شعاعي پركاربرد داراي محمل سراسري هستند و لذا ماتريس ضرايب در روش­هاي بدون شبكه مبتني بر اين دسته از توابع پايه­اي شعاعي چگال خواهد بود، كه اين امر هزينه محاسباتي و ناپايداري­هاي عددي را افزايش مي­ دهد. اين چالش در زمينه حل عددي معادلات ديفرانسيل تصادفي كه با شبيه ­سازي­هاي متعددي سر و كار خواهيم داشت به صورت جدي­تر مطرح مي­ باشد. در اين مقاله، روش پارتيشن­ بندي واحد توابع پايه شعاعي مبتني بر تفاضلات متناهي را براي رفع اين چالش ارايه خواهيم كرد و آن را بر روي معادلات ديفراسيل با مشتقات جزيي تصادفي سهموي پياده­ سازي خواهيم نمود. با به كارگيري چنين طرحي، يك مسئله بزرگ به تعداد زيادي مسئله كوچك تجزيه مي­ شود. همچنين، خاصيت همگرايي طيفي توابع پايه شعاعي در تقريب­هاي موضعي به سرتاسر روش پارتيشن­ بندي واحد مبتني بر توابع پايه شعاعي منتقل مي­ شود. به منظور ارزيابي عملكرد روش با استفاده از 1000 شبيه ­سازي انجام شده، معيارهاي آماري نظير ميانگين، انحراف معيار و كران­هاي بالا و پايين جواب­ها ارايه شده است. نتايج شبيه ­سازي­هاي عددي نشان مي­دهد، اين روش به­ طور قابل ملاحظه ­اي بدوضعي روش سراسري مبتني بر توابع پايه اي شعاعي را كاهش مي ­دهد. به ­علاوه، اين روش با توليد دستگاه معادلات تنك به ­طور قابل توجهي باعث كاهش حجم محاسباتي مي­ گردد. همچنين، روش پيشنهادي را بر روي دامنه ­هاي نامنظم به كار خواهيم برد تا مزيت استفاده آسان از توابع پايه شعاعي براي چنين نواحي را نشان دهيم.

Meshfree methods based on radial basis functions (RBFs) are popular tools for the numerical solution of parabolic stochastic partial differential equations (PSPDEs). However, the RBF collocation methods in the global view have some disadvantages for the numerical solution of PSPDEs. Condition number in the resulting dense linear systems indicates that the meshless method using global RBFs may be unstable at each realization to solve PSPDEs. In order to avoid numerical instabilities in the global view, we are interested in the use of RBF methods in the local view for the numerical solution of PSPDEs. In this paper, the RBF partition of unity collocation method based on a finite difference scheme for the Gaussian random field (RBF-PU-FD) as a localized RBF approximation presented to deal with these issues. For this purpose, we simulate the Gaussian field with a spatial covariance structure at a finite collection of collocation points. The matrices formed during the RBF-PU-FD method will be sparse and, hence, will not suffer from ill-conditioning and high computational cost. For the test problems, we perform 1000 realizations and statistical criterions such as mean, standard deviation, lower bound and upper bound of prediction are evaluated using the Monte-Carlo method.