مطالعه حدسي از اردوش روي اعداد رمزي گراف ها

Around a conjecture of Erdos in graph Ramsey theory

عدد رمزى (R(H, G به ازاي گرافهاي داده شده ي H و G، كوچكترين عدد طبيعي n تعريف مي شود به طوري كه در هر 2- رنگ آميزي بالي گراف كامل از مرتبه ي n با دو رنگ قرمز و آبي، بتوان زير گراف تكرنگ يك ريخت با H از رنگ قرمز يا زير گراف تك رنگ يكريخت با G از رنگ آبي يافت. در سال 1983 اردوش حدس زد كه ثابت 0 < C موجود است به طوري كه براي هر گراف m يالي و بدون رأس تنهاي G، داريم R(G, G) < 2em . اين حدس در سال 2011 توسط سوداكو اثبات شد. ما در اين مقاله با قرار دادن شرايط مناسب، نتيجه سوداكو را به گرافهاي G1 و G2 تعميم مي دهيم. هم چنين با قرار دادن G1 = Kn و G2 = Kl + H كه در آن H يك گراف تنك است، نتيجه ي مشابهي براي ( R(G1,G2 به دست مي آوريم.

For given graphs G1 and G2 the Ramsey number R(G1;G2), is the smallest positive integer n such that each blue-red edge coloring of the complete graph Kn contains a blue copy of G1 or a red copy of G2. In 1983, Erd}os conjectured that there is an absolute constant c such that R(G) = R(G;G) 2c p m for any graph G with m edges and no isolated vertices. Recently this conjecture was proved by Sudakov. In this short note, we give an extention of this result. As a corollary of our result we have R(G1;G2) 2250 p m for graphs G1 and G2 with no isolated vertices and m1 and m2 edges, respectively, where m = fm1;m2g