برخي از خواص مجموع عملگرهاي تركيبي وزن دار روي فضاي فوك

Some properties of sums of weighted composition operators on the Fock space

فرض كنيد كه H يك فضاي هيلبرت باشد. براي هر f∈Hعملگر ضربي به صورت M_φ (f)=φf تعريف مي شود. فرض كنيد φ نگاشتي تام باشد. براي هر تابع f متعلق به فضاي فوك F^2عملگر تركيبي C_φ را به صورت C_φ (f)=f∘φ تعريف مي كنيم. براي دو تابع تام ψ و φ، عملگر تركيبي وزن دار را با نماد C_(ψ,φ) نمايش داده و براي هر f∈F^2 به فرم C_(ψ,φ) (f)=ψ.(f∘φ) تعريف مي كنيم. همچنين برد عددي عملگر كراندارT را با نمادW(T) نمايش داده و به صورتW(T)={⟨Tf,f⟩:‖f‖=1} تعريف مي كنيم. در اين مقاله، طيف نقطه‌اي برخي از عملگرهاي به فرم C_(ψ_1,φ_1 )+C_(ψ_2,φ_2 ) را در حالتي كه φ_1 و φ_2 داراي نقطه ثابت مشترك هستند، مشخص و يك زير فضاي ناوردا براي عملگر (C_(ψ_1,φ_1 )+C_(ψ_2,φ_2 ) )^* معرفي مي كنيم. سپس با استفاده از اين مطالب براي عملگرهاي فشرده C_(ψ_1,φ_1 ) و C_(ψ_2,φ_2 )، طيف عملگر C_(ψ_1,φ_1 )+C_(ψ_2,φ_2 ) را پيدا كرده و بعد از آن برد عددي عملگر C_(ψ_1,φ_1 )+C_(ψ_2,φ_2 ) را كه در آن φ_1 و φ_2 داراي نقطه ثابت مشترك باشند را بررسي مي كنيم‌.

Let H be a Hilbert space. For each f∈H, we define a multiplication operator M_φ by M_φ (f)=φf. Let φ be an entire function. For each f belongs to the Fock space F^2, the composition operator C_φ is defined by C_φ (f)=f∘φ. For entire functions ψ, φ and f∈F^2, the weighted composition operator C_(ψ,φ) on F^2 are given by C_(ψ,φ) (f)=ψ.(f∘φ). Let T be a bounded operator on H, the set W(T)={⟨Tf,f⟩:‖f‖=1} is called the numerical range of T. In this paper, we find the point spectrum of some operators C_(ψ_1,φ_1 )+C_(ψ_2,φ_2 ), when φ_1 and φ_2 have the some fixed point. Moreover, we obtain an invariant subspace for the operator (C_(ψ_1,φ_1 )+C_(ψ_2,φ_2 ) )^*. Then by these results, for compact operators C_(ψ_1,φ_1 ) and C_(ψ_2,φ_2 ), we find the spectrum of C_(ψ_1,φ_1 )+C_(ψ_2,φ_2 ). Then for φ_1 and φ_2 which have the some fixed point, we investigate the numerical range of C_(ψ_1,φ_1 )+C_(ψ_2,φ_2 ).