توﺻﯿﻒ اﺷﺘﻘﺎقﻫﺎي ﻣﮑﻌﺒﯽ روي رده ﻫﺎي ﻣﺨﺘﻠﻒ ﺟﺒﺮﻫﺎي ﺑﺎﻧﺎخ

Characterization of cubic derivations on various class of Banach algebras

فرض كنيد A يك جبر باناخ و X يك باتاخ A-دومدول باشد. نگاشت D:A-->X را يك اشتقاق مكعبي نامند هرگاه براي هر a,bin A داشته باشيم D(ab)=a^3D(b)+D(a)b^3. نگاشت D را يك نگاشت همگن مكعبي نامند هرگاه براي هر ain A و lambdain C داشته باشيم D(lambda a)=lambda D(a). در اين مقاله نگاشت خطي-مكعبي و اشتقاق خطي-مكعبي را به‌صورت زير تعريف مي‌كنيم. نگاشت همگن مكعبي D:A-->X را يك نگاشت خطي-مكعبي گوييم هرگاه براي هر a,bin A و lambdain C داشته باشيم D(lambda a+b)=lambda D(a)+D(b) و علاوه براين اگر D يك اشتقاق مكعبي باشد آن را يك اشتقاق خطي-مكعبي ناميم. در اين مقاله اشتقاق هاي خطي-مكعبي را روي رده هاي مختلفي از جبرهاي باناخ شامل جبرهاي باناخ حاصل از ضرب theta-لائو، جبرهاي باناخ توسيع مدولي و جبرهاي باناخ ملقمه‌اي توصيف مي كنيم. براي توصيف، theta-اشتقاق مكعبي و نگاشت هاي مكعبي مدولي را تعريف مي كنيم. براي جبرباناخ Atimes_theta B كه thetainsigma{A}cup{0} و A يكدار است، نشان مي دهيم كه اشتقاق خطي-مكعبي است اگروتنهااگر theta-اشتقاق مكعبيD_B,A:B--->A و اشتقاق هاي خطي-مكعبي D_A:A--->A و D_B:B--->Bموجود باشند كه براي هر (a,b)in Atimes_theta B ، به صورت D(a,b)=(D_A(a)+D_B,A(b),D(b)) باشد و براي هر (a,b)in Atimes_theta B در شرط داده شده صدق كند. نتايجي مشابه براي جبرهاي باناخ توسيع مدولي و ملقمه‌اي بدست مي آوريم.

Let A be a Banach algebra and X be a Banach A-bimodule. A mapping D:A--->X is called a cubic derivation if, for all a,bin A we have D(ab)=a^3D(b)+D(a)b^3 . The mapping D:A--->X is called a cubic homogenous map if we have D(lambda a)=lambda^3 D(a) for all ain A and lambdain C. In this paper, we define linear-cubic map and linear-cubic derivation as follows. We say the cubic homogenous map D:A--->X is a linear-cubic map if we have D(lambda a+b)=lambda^3D(a)+D(b) , for all a,bin A and lambdain C and moreover if D:A--->X is a cubic derivation, then we call it a linear-cubic derivation. In this paper, we characterize linear-cubic derivations on various class of Banach algebras such as Banach algebras obtained by theta-Lau product, module extensions of Banach algebras and amalgamated Banach algebras. For characterizing, we define theta-cubic derivation and module cubic mappings. For Banach algebra Atimes_theta B , where thetainsigma(A)cup{0} and A is unital, we show that D:A--->X is a linear-cubic derivation if and only if there are theat -cubic derivation D_B,A:B--->A and linear-cubic derivations D_A:A--->A and D_B:B---> B such that for any (a,b)in Atimes_theta B, be as follows D(a,b)=(D_A(a)+D_B,A(b),D(b)) and these mappings satisfy in the given condition. We obtain similar results for module extensions of Banach algebras and amalgamated Banach algebras.