ﺑﺮرﺳﯽ وﺟﻮد ﺟﻮابﻫﺎي ﺿﻌﯿﻒ ﻣﺜﺒﺖ دﺳﺘﮕﺎهﻫﺎي ﺟﺪﯾﺪي از ﻧﻮع ﮐﯿﺮﺷﻬﻒ ﺑﺎ ﺷﺮط ﻣﺮزي دﯾﺮﯾﮑﻠﻪ

On positive weak solutions for new Kirchhoff type systems with Dirichlet boundary condition

معادله كيرشهف با شكل اوليه تعميم معادله موج كلاسيك دالامبر با در نظر گرفتن اثرات تغيير طول رشته در طي ارتعاشات است. در (*)، L پارامتر طول رشته، h مساحت سطح مقطع، E ضريب يانگ مواد، rho چگالي جرم و P_0 كشش اوليه است. در سال هاي اخير، برخي تعميم هاي كاربردي معادله كيرشهف در بسياري از مقالات ارايه شده و مورد مطالعه قرار گرفته است. در اين مقاله، به بررسي وجود جوابهاي ضعيف دسته اي از دستگاههاي از نوع كيرشهف با پارامترهاي چندگانه مي پردازيم. نشان خواهيم داد كه تحت چه شرايطي اين دستگاه ها به ازاي همه پارامترهاي مثبت دلخواه داراي جواب مثبت هستند. رويكرد ما در اين مقاله براساس روش جواب هاي پاييني-بالايي است.

The Kirchhoff equation (*) [rho frac{{{partial ^2}u}}{{partial {t^2}}} - left( {frac{{{P_0}}}{h} + frac{E}{{2L}}int_0^L {left| {frac{{partial u}}{{partial x}}} right|} dx} right)frac{{{partial ^2}u}}{{partial {x^2}}} = 0] extends the classical d'Alembert's wave equation by considering the effects of the changes in the length of the strings during the vibrations. The parameters in equation (*) have the following meanings: L is the length of the string, h is the area of cross-section, E is the Young modulus of the material, rho is the mass density and P_0 is the initial tension. In recent years, some applicable generalization of Kirchhoff equation have been proposed and studied in many papers. In this paper, we study the existence of positive weak solutions for new Kirchhoff type systems with multiple parameters. We will show under what conditions these systems have a positive weak solution for any positive parameters. Our approach in this paper is based on the sub- and supersolution method. approach in this paper is based on the sub- and supersolution method.