شيوه‌اي نوين در تعيين مدهاي طبيعي و فركانس‌هاي متناظر سيستم‌هاي با چند درجه آزادي بر اساس مفهوم گره ارتعاش

A new method for determining natural modes and their frequencies with the concept of node in vibrations of M-DOFs

روش‌­هاي گوناگون تحليل ديناميكي سازه­‌ها با مفهوم مدهاي طبيعي سر و كار دارند و در رياضيات به مدهاي طبيعي اصطلاحا بردارهاي مشخصه گفته مي­‌شود. روش مرسوم براي تعيين مدهاي طبيعي يك سيستم حل مسئله مقادير ويژه است. در اين روش بر اساس ماتريس­‌هاي سختي و جرم، ماتريس مشخصه ساخته مي­‌شود كه با صفر قرار دادن دترمينان آن، فركانس­2هاي طبيعي سيستم به ­دست مي­‌آيد. با تعيين فركانس­‌ها، بردار مدهاي ارتعاش ساخته مي­‌شوند. روشي كه در اين مقاله بيان مي‌­شود مبتني بر تعيين مكان (مكان­هايي) است كه در هر شكل مد، جابجايي آن (آن­ها) صفر است كه به گره موسوم است. در واقع با اين روش، يك سيستم با چند درجه آزادي در هر مد به چند سيستم با يك درجه آزادي تبديل مي­‌شود كه در محل گره­‌هاي فرضي از يكديگر جدا شده‌­اند. جرم‌­هاي سيستم­‌هاي مزبور به­ طور هم­زمان، با يك فركانس ارتعاش مي­‌كنند كه همان فركانس ارتعاش در مد مورد نظر است. هر فنري كه بين دو جرم مجاور قرار دارد، در محل گره به دو فنر متوالي تفكيك مي­‌شود، به ­طوري كه فنر اوليه داراي سختي معادل فنرهاي متوالي (سري) است. اين روش درك فيزيكي مناسبي براي مفهوم مد ارتعاش ارائه مي­‌كند. روش به ­كار رفته دقيق بوده و در برخي موارد، ساده و سريع­تر از روش مرسوم عمل مي­‌كند.

This paper evaluates the vibration of M-DOF systems by calculating the natural frequencies and mode shapes. The introduced method is established on the base of the node concept, which is the point of a mode shape with zero displacement. In this method, a system with two or more degrees of freedom is transformed into two or more isolated systems with one- DOF. Those systems are isolated in node places and vibrate with the same frequencies in every mode. Each spring located between two adjacent lumped masses will be converted to series combination of two separated springs. The stiffness of the first spring is equal to the effective stiffness of the two series separated springs. The proposed method provides a good physical understanding about the concept of vibration modes. Besides, this method is accurate and sometimes is simpler and quicker than the common method.