برآورد آماري عدد π با استفاده از مستطيلها در مسئله سوزن بوفون

Statistical estimation of the number π by rectangles in Buffon’s needle problem

مسئله كلاسيك سوزن بوفون تجربه اي تصادفي است كه در آن از پرتاب كاملا ”شانسي” و بي قاعده سوزني روي يك صفحه ميتوان برآوردي آماري براي عدد π بدست آورد. در اين مسئله يك سوزن به تصادف روي صفحه اي كه با خطوط موازي هم فاصله افراز شده است رها ميشود. اگر پرتاب چندين بار بطور مستقل تكرار شود، بر حسب تعداد دفعاتي كه سوزن با يكي از خطوط برخورد مي كند برآوردگري براي عدد π بدست مي آيد. در اين مقاله فرض ميكنيم صفحه بوسيله خطوط افقي و عمودي هم فاصله به مستطيل هاي هم اندازه افراز شده است. در اين حالت نيز بر حسب تعداد دفعات برخورد سوزن با اضلاع يك مستطيل برآوردگر ديگري براي πبدست مي آوريم. نشان ميدهيم هر دو برآوردگر به طور مجانبي نرمال و نااريب هستند. به منظور مقايسه آنها، كارآيي مجانبي نسبي برآوردگرها را بدست آورده و نشان ميدهيم برآوردگر بر اساس مستطيل كاراتر ميباشد. همچنين براي عدد π فواصل اطمينان بدست مي آوريم و نتايج عملي تعدادي پرتاب ارائه ميشود.

The Buffon’s needle problem is a random experiment leading to estimate of the number π by ”randomly” throwing a needle onto a plane partitioned by parallel lines. Indeed, in the independently repetitions of the experiment, based on the number of times where the needle will cross a line, one can construct an estimator of π. The aim of this note is to obtain a better estimator (in some sense) by considering a model where the plane is partitioned by rectangles. We show that both estimators are asymptotically normal and unbiased; and also the confidence intervals are obtained for π. We calculate the asymptotic relative efficiency of the estimators and show that the estimator based on the rectangles is more efficient. The data of a real experiment is provided.