تعريف فضاي اپراتوري عمومي و متريك s-Gap براي سنجش پايداري مقاوم سيستم هاي كنترلي با ديناميك غيرخطي

Definition of General Operator Space and The s-gap Metric for Measuring Robust Stability of Control Systems with Nonlinear Dynamics

در دهه­ هاي اخير، متريك­ ها به عنوان ابزارهايي براي آناليز پايداري مقاوم سيستم ­هاي كنترلي معرفي شده ­اند. از مهم­ترين مشكلات اين ابزارها مي­توان به محدوديت كارايي آن­ها در آناليز پايداري سيستم­ هاي حلقه بسته با ديناميك غيرخطي اشاره كرد. در برخي مقالات، نويسندگان خطي سازي سيستم و استفاده از ايده متريك خطي را مطرح كرده ­اند. در اين مقاله نشان مي­ دهيم تكيه بر مدل خطي كافي نبوده و ابزارهاي رياضي جديد­تري براي آناليز پايداري مقاوم اين سيستم­ ها نياز است. لذا، تعريف فضاي اپراتوري عمومي S به عنوان مهم­ترين نوآوري براي تعيين ضعيف ­ترين توپولوژي ميان دو سيستم غيرخطي مطرح مي­شود. در اين فضا، اپراتورهاي غيرخطي (سيستم­ هاي ديناميك غيرخطي) با منيفلد توپولوژي ديفرانسيل­ پذير به صورت ايزومورفيسم ­هاي ايزومتريكي بيان مي­شوند. ثمره اين تعريف، امكان پذيري محاسبه متريك غيرخطي است كه تعريف معيار جديد s-gap را نتيجه مي­دهد. نشان مي­ دهيم كه محاسبه متريك غيرخطي بر روي گراف­ هاي ايجاد شده را مي­توان به محافظه كارترين فضاي مماس در فضاي اپراتوري S تعبير كرد. همچنين، با توجه به روابط و تعريف فضاي اپراتوري جديد، باند بالاي بهره يا باند پايين حاشيه پايداري تعميم يافته (GSM) سيستم حلقه بسته تعيين مي­شود كه در كنار s-gap تئوري جديدي براي پايداري مقاوم ارائه مي­ دهد. تئوري پيشرفته اپراتوري و نتايج شبيه سازي، صحت ادعاهاي مطرح شده را با اطمينان تاييد مي­ كند.

In the recent decades, metrics have been introduced as mathematical tools to determine the robust stability of the closed loop control systems. However, the metrics drawback is their limited applications in the closed loop control systems with nonlinear dynamics. As a solution in the literature, applying the metric theories to the linearized models is suggested. In this paper, we show that using the linear model is not adequate to analyze the robust stability. To this end, the definition of general operator space is proposed as the important novelty to determine the weakest topology between two nonlinear dynamic systems. In this space, all nonlinear operators (nonlinear dynamic systems) with differentiable manifold topology can be considered as isometric isomorphism. The result of this definition is possibility of the nonlinear gap metric solution which leads to definition of the s-gap metric. In fact, we show that the calculation of the nonlinear gap metric leads to the most conservative tangent spaces in the defined space. Also, based on the new results, the gain bound of the closed-loop system is determined, which together with the s-gap offers a new theory for robust stability analysis. Advanced operator theory and simulation results confirm the correctness of the claims.