بسط مجانبي يك دنباله مرتبط با عدد نپر و كاربرد آن در شمارش تحليلي تعداد مسيرها در گراف كامل

در اين مقاله تعداد مسيرهاي بين دو رأس دلخواه و ثابت در گراف كامل K_{n+2} را بررسي مي‌كنيم. نخست نشان مي‌دهيم تعداد اين مسيرها برابر است با w_{n+2}=e_n n! كه در آن e_n=\sum_{j=0}^n 1/j!مجموع جزئي سري معرّف عدد e است. سپس با بدست آوردن يك نمايش انتگرالي براي e_n، شبيه انتگرال تابع گاما، بسط مجانبي زير را براي w_{n+2} به‌دست مي‌آوريم\[w_{n+2}=en!\sum_{k=1}^r\frac{c_k}{n^k}+O\left(\frac{1}{n^{r+1}}\right),\]كه در آن r⩾1 عددي صحيح و دلخواه است و ضرايب c_k قابِل محاسبه و مشخص هستند. ضمناً نشان مي‌دهيم كه ضريب نماد O در اين بسط حداكثر برابر e^2B_{r+1} است، كه در آن B_{r+1} عدد بل از مرتبۀ r+1 است.