خواص مشترك برخي زيرحلقه هاي $\mathbb{R}^X$

راي فضاي توپولوژي ناتهي $X$، محموعه تمام توابع حقيقيمقدار روي $X$ با نماد $F(X)$ نشان داده مي‌شود كه با عمل جمع و ضرب نقطه به نقطه، حلقه‌اي تعويض‌پذير است. اعضاي پيوسته $F(X)$ را با $C(X)$ نشان مي‌دهيم. $B_1(X)$ مجموعه تمام حدود نقطه به نقطه دنباله‌ توابع در $C(X)$ را نشان مي‌دهد كه يك زيرحلقه $F(X)$ است. نشان داده شده است كه جمع دو $z$ايدآل در $B_1(X)$ يك $z$ايدآل است و ايدآل $I$ در $B_1(X)$ يك $z$ايدآل است اگر و تنها اگر $\sqrt{I}$ يك $z$ايدآل در $B_1(X)$ باشد. براي هر $f\in F(X)$، $f^{1}(0)$ را با $Z(f)$ نشان داده و آن را يك صفرمحموعه مي‌گويند. اگر $A(X)$ يك زيرحلقه $F(X)$ باشد، $\emptyset \neq B\subseteq A(X)$ و $S=\bigcup_{b\in B}(X\setminus Z(b))$، آن‌گاه ثابت شده است كه همريختي حلقه $\phi:A(X) \to A(S)$ وجود دارد به‌طوري كه $\phi= Ann(B)$ \lr{ker}. ايدآل $I$ در $A(X)$ را مطلقا محدب گوييم هرگاه از $f\in A(X),~g\in I$ و $|f|\leq |g|$ نتيجه شود $f\in I$. برخي زيرحلقه‌هاي $F(X)$ كه هر ايدآل اول آن مطلقا محدب باشد بررسي شده است. ايدآل سره $I$ از $A(X)$ را ايدآلي شبه‌ثابت مي‌نامند هرگاه گردآيه $\{ cl_XZ(f) | f\in I \}$ داراي اشتراك ناتهي باشد. مشخصه ‌سازي‌ها‌يي از ايدآل‌هاي شبه‌ثابت در برخي زيرحلقه‌هاي $F(X)$ داده شده است. نشان داده شده است كه اگر $X$ همبند باشد، $I$ ايدآلي آزاد در $C(X)$ باشد و $p\in X$، آن‌گاه ايدآل ناصفر $J$ كه مشمول در $I$ است وجود دارد به‌طوري كه $p\in \cap Z[J]$. زيرحلقه‌ $A(X)$ از $F(X)$ مورد مطالعه قرار گرفته است كه هر $f\in A(X)$ با شرط $Z(f)=\emptyset$ داراي وارون ضربي در $A(X)$ باشد. زيرحلقه $A(X)$ از $F(X)$ مورد پژوهش قرار گرفته است كه براي هر $g\in C(\mathbb{R})$ و هر $f\in A(X)$ داشته باشيم $g\circ f \in A(X)$. يك تابعگون پادوردا از رسته‌ي تمام فضاهاي توپولوژي و نگاشت‌هاي پيوسته بين آنها بتوي رسته‌ي حلقه‌هاي تعويض‌پذير يكدار و همريختي‌هاي حافظ عضو هماني ضربي بين آنها برقرار خواهد شد.