روش بهينه‌سازي نيوتن در فضاهاي ژئودزيك

بسياري از فضاهاي مهم در مسائل مربوط به علوم داده يا مهندسي‏، فضا‌هاي غيرخطي‌‌اند. ازاين‌رو‏، در سال‌هاي اخير روش‌هاي عددي براي بهينه‌سازي تابع‌هاي تعريف‌شده روي خمينه‌هاي ريماني، مورد توجه و پژوهش بسياري قرار گرفته است. ازطرف‌‌ديگر، هندسه‌داناني چون آليكساندرف و گرومُف، با ابداع فضاهاي ژئودزيك، دريچۀ تازه‌اي به مطالعۀ اشياء هندسي گشودند. اين فضاها تعميم خمينه‌هاي ريماني‌اند و‏، علاوه‌بر مزيت‌هاي ديگر، فاقد پيچيدگي‌هاي تانسوري اين خمينه‌ها هستند. اين فضاها بسياري از اشياء ناهموار رياضي، ازجمله گراف‌ها يا خمينه‌هاي توپولوژيك را هم شامل مي‌شوند. در اين مقاله‏، روش نيوتن براي يافتن نقطۀ مينيمم يك تابع خودسازگار روي فضاهاي متري ژئودزيك ارائه مي‌شود. از مزيت‌هاي مهم اين نوع بررسي در قياس با روش نيوتن روي خمينه‌هاي ريماني‏، سادگي بسيارِ نظريه و كاهش حجم محاسبات است. علي‌رغم نبود ساختار هموار و جبر تانسوري روي خمينه‌ها‏، صرفاً با استفاده از مفهوم »‎خم ژئودزي‎»‎ نشان مي‌‌دهيم كه مي‌توان روش نيوتن را به‌شكلي موفق و حتي ساده‌تر روي ردۀ وسيعي از ساختارهاي معمول رياضي طراحي و اجرا كرد.