عدد زيرتقسيم m - امن دايم در گراف ها

فرض كنيد 𝐺 = (𝑉, 𝐸) گرافي با مجموعه رئوس 𝑉 و مجموعه يال هاي  𝐸باشد. مجموعه 𝑆 ⊆ 𝑉 را يك مجموعه احاطه گر در𝐺  نامند هرگاه هر رأس از 𝑆 با حداقل يك رأس از  مجاور باشد. مجموعه احاطه گر𝑆0  از گراف 𝐺 را يك مجموعه 1- امن دايم گويند هرگاه به ازاي هر عدد صحيح مثبت 𝑘 و هر دنباله 𝑣1,…, 𝑣𝑘 از رئوس، دنباله اي مانند 𝑢1,…, 𝑢𝑘  با شرط 𝑢𝑖 ∈ 𝑆𝑖−1 موجود باشد كه 𝑢𝑖 = 𝑣𝑖  يا 𝑆𝑖 = (𝑆𝑖−1 − {𝑢𝑖}) ∪ {𝑣𝑖} و 𝑢𝑖𝑣𝑖 ∈ 𝐸 و   يك مجموعه احاطه گر باشد. اگر روي هريك از رئوس يك مجموعه 1- امن دايم در 𝐺 يك محافظ قرار دهيم، آنگاه به ازاي هر دنباله از حملات به رئوس، با حركت يك محافظ در امتداد يكي از يالهاي مجاور آن، مجموعه حاصل، باز هم امن باقي مي ماند. اگر به ازاي هر دنباله از حملات به رئوس 𝐺، تمام محافظان بتوانند در امتداد يكي از يالهاي مجاور حركت كنند و مجموعه حاصل باز هم امن بماند، آنگاه اين مجموعه را يك مجموعه 𝑚 - امن دايم نامند. كمترين تعداد اعضاي يك مجموعه 𝑚 - امن دايم را عدد  امن 𝑚 - دايم 𝐺 ناميده و با 𝜎𝑚(𝐺) نشان مي دهند.  زيرتقسيم يال 𝑒 = 𝑢𝑣 از 𝐺 عبارت است از حذف 𝑒 و افزودن رأس جديد 𝑤 و يال هاي 𝑢𝑤 و 𝑤𝑣 عدد زيرتقسيم 𝑚 - امن دايم 𝐺 ، ،𝑠𝑑𝜎𝑚(𝐺) عبارت است از كمترين تعداد يال هايي از 𝐺 كه با زيرتقسيم آنها عدد −𝑚 امن دايم گراف افزايش مي يابد. در اين مقاله نشان مي دهيم كه عدد زيرتقسيم −𝑚 امن دايم در هر گراف حداكثر 3 است.