رنگ پذيري در توپولوژي

در اين مطالعه هدف بيان نحوه رنگ آميزي سطوح توپولوژِكي به صورتي كه رنگ ها داراي مرز اما بدون فاصله و با كمترين عدد رنگي است. اينكه يك سطح را مي توان با حداقل چه تعداد رنگ رنگ آميزي كرد به صورتيكه شرايط ايجاد تعريف يك نوع نگاشت با شرط بدون نقطه ثابت بودن را همراه داشته باشد. اين نگاشت را نگاشت رنگي ناميده و در شرايط مختلف  فضا مانند فشردگي يا پارافشردگي، نرمال يا متريك بودن و پيوستگي و... مورد بررسي و تحليل قرار مي گيرد و متناسب با نوع هر فضا خواص مربوط به نگاشت ها را تغيير داده تا نتيجه مورد نظر حاصل شود. در ادامه با اثبات قضايا و لم هاي متعدد، عدد رنگي منسوب به هر يك از نگاشت ها با شرايط مختص به آن را بدست آورده مي شود. اثبات مي شود كه  به جز يك استنثنا كه در متن به آن اشاره شده است اين عدد از حداقل 3  البته و بسته به  شرايط خاص هر فضا تا حداكثر n+3 افزايش مي يابد. كه n مي تواند بسته به شرايط متناهي هم باشد.