توپولوژي خمينه‌هاي ۳-بعدي

اين دومين مقاله از يك سه‌گانه است كه به مرور تحولات مهم توپولوژي ابعاد پايين در قرن گذشته مي‌پردازد. با شروع از كارهاي پوانكاره در سالهاي پاياني قرن نوزدهم و سالهاي آغازين قرن بيستم، قدم‌هاي اصلي كه براي قرار دان خمينه‌هاي سه‌بعدي و توپولوژي جبري مرتبط با آنها در يك چارچوب رياضي استوار برداشته شد، و قضاياي مهمّي كه فهم اين خمينه‌ها را قوام بخشيد را مرور خواهيم كرد. اين مرور، با قضاياي تجزيۀ اول خمينه‌هاي ۳ بعدي و قضيۀ تجزيۀ JSJ آغاز مي‌شود. برجسته كردن اهمّيت خمينه‌هاي ۳ بعدي هذلولوي، اثبات قضيۀ هيولا، و صورت‌بندي حدس هندسي‌سازي توسط ترستن نقطه عطف مهمّي در مطالعه خمينه‌هاي ۳‌ بعدي بوده است. اثبات حدس پوانكاره توسط پرلمان، با استفاده از شار ريچيِ هاميلتون، اين نكته را تأييد كرد كه گروه بنيادي خمينه‌هاي ۳ بعدي ناوردايي تقريبا كامل براي اين خمينه‌ها است. با اين وجود، مشخص نيست كه بسياري از خصوصيّات هندسي خمينه‌هاي ۳ بعدي چگونه در گروه بنيادي منعكس مي‌شود، و تشخيص اين كه دو نمايش گروه‌هاي بنيادي، گروه‌هايي يك‌ريخت را مشخص مي‌كنند يا خير هم معمولاً بسيار دشوار است. راه‌هاي موازي براي مطالعه خمينه‌هاي ۳ بعدي و هم‌لبگي‌هاي ۴ بعدي بين آنها با استفاده از ناورداهاي آبلي- كه كار كردن با آنها ساده‌تر است- بالاخص شامل نظريه‌هايي است كه در قالب نظريه‌هاي توپولوژيك ميدان‌ كوانتومي صورت‌بندي شده اند. چنين نظريه‌هايي هم در اين مقاله مورد اشاره قرار مي‌گيرند. بالاخص، قضيه‌اي از نويسنده كه به توانايي ناورداهاي اخير در تشخيص كرۀ ۳ بعدي از ساير خمينه‌ها مي‌پردازد مورد مطالعه قرار خواهد گرفت.