بررسي و تحليل مـدل‌هاي اساسي استدلال و اثبـات در آموزش رياضي

Investigation and analysis of the basic models of reasoning and proof in math education

هدف اين مطالعه، بررسي و تحليل مدل‌ها و چارچوب‌هاي عمده‌اي است كه محققان و آموزشگران رياضي براي بررسي پاسخ‌هاي افراد به مسايل مرتبط با اثبات در رياضيات پيشنهاد داده‌اند. در اين پژوهش 8 مدل، از جمله مدل‌هاي محققاني همچون هارل و ساودر، ركيو و گودينو، ميازاكي، بالاچف، معرفي و مورد تجزيه و تحليل قرار گرفته است. هر مدل‌ به نوعي، روش استدلال و اثبات پاسخ‌دهندگان را طبقه‌بندي مي‌كند. بر اساس توضيحاتي كه محققان براي طبقات مختلف مدل‌هاي خود بيان مي‌نمايند، جدولي ارايه مي‌گردد كه در آن، همپوشاني و تمايز بين اين طبقات نشان داده مي‌شود. نتايج بررسي و تحليل مدل‌ها نشان مي‌دهد كه طبقه‌بندي پاسخ ‌افراد به مسايل مرتبط با اثبات، مي‌تواند به دو صورت زير انجام پذيرد؛ 1. بدون توجه به ديدگاه افراد نسبت به اثبات و صرفاً براساس روش استدلال ‌آنها؛ 2. با توجه به نوع تفكر افراد در فرايند اثبات و همچنين روش استدلال ‌آنها در ارايه‌ي اثبات. در اين پژوهش با استفاده از مدل‌هاي مورد مطالعه، چارچوب جديدي ارايه گرديده است؛ به گونه‌اي كه مي‌توان استدلال‌هاي مختلف رياضي را در آن طبقه‌بندي نمود. در اين چارچوب، استدلال‌هاي افراد در فرايند اثبات يك گزاره، از نظر روش و شكل ارايه آنها دسته بندي مي‌شوند كه با استفاده از آن، مي‌توان علاوه بر ارزيابي توانايي دانش‌آموزان در فرايند اثبات، روش تفكر و ديدگاه آنها را نيز نسبت به اين فرايند، مورد بررسي قرار داد. به نظر مي‌رسد كه اين چارچوب، تا حدود زيادي مي‌تواند طبقات مختلف مدل‌هاي ارايه شده توسط محققان ديگر را در برگيرد.

The purpose of this study was to investigate and analyze mathematical models and important frameworks that researchers and educators have suggested to discuss people’s response to issues related to proof in mathematics. Through this descriptive-analytical study, 8 models have been introduced and analyzed. Each of these models categorizes a way of students’ reasoning and proof. Of course, some of these classifications are more accurate and detailed. According to the researchersʹ explanation for the different classes of models, a table was presented that shows the overlap and distinction between these classes. The results of models’ analysis shows that people’s response to issues related to proof can be classified in two ways: a. regardless of individuals’ opinions on the proof, and solely on the basis of their reasoning methods, and b. depending on the type of thinking during the process of proof and also their reasoning methods for presenting the proof. Using the models under study, a new framework was proposed; so that various mathematical reasoning could be classified using it. In this framework, the reasoning of people during the proof of a proposition was classified based on the type and method of presentation. Using this method, we can demonstrate the ability of students on the process of proof and furthermore we can study the way of their thinking and their views about this process. It seems that the proposed framework could cover different classes of models presented by other researchers.