مهاجرت در حوزه فوريه با وجود تغييرات قايم سرعت

Fourier migration for vertical velocity variations

مهاجرت (f-k) يك روش مهاجرت در حوزه فوريه است (استالت، 1978) كه براساس تغيير بسامد زماني به بسامد مكاني (يا به بيان ديگر تصويرسازي) بنا نهاده شده است. اين الگوريتم طيف مهاجرت‌نيافته را در حوزه فوريه مستقيماً به طيف مهاجرت‌يافته تبديل مي‌كند. اين روش ساده و كارا است اما به محيط‌‌هاي سرعت ثابت محدود مي‌شود. روش مهاجرت v(z)(f-k) كه در اين مقاله معرفي مي‌شود، قادر است مهاجرت را براي محيط‌هايي با تغييرات قايم سرعت توسعه دهد. ازآنجاكه روش معرفي شده به‌‌صورت فيلتر ناپايا فرمول‌بندي مي‌شود، ديگر نيازي به تغيير متغير ندارد. اين روش در حوزه فوريه مستقيماً به‌‌ازاي هر عدد موج، يك فيلتر مهاجرت ناپايا را به نمونه‌‌هاي بسامد ورودي اِعمال مي‌كند تا نمونه‌‌هاي بسامد مهاجرت‌يافته را ايجاد كند. اين روش در عمل كندتر از روش (f-k) عمل مي‌كند اما ساختارهاي اضافي را كه روش (f-k) به‌خاطر درون‌‌يابي مقادير موهومي در حوزه بسامد توليد مي‌كرد، ايجاد نمي‌كند. تغييرات قايم سرعت در اين روش يا به‌‌صورت rms ويا با دقت بيشتر به روش WKBJ اِعمال مي‌شود. در اين تحقيق روش v(z)(f-k) روي مدل مصنوعي اِعمال ونتايج با روش مهاجرت (f-k) مقايسه مي‌شود. همچنين كارايي روش روي يك مقطع لرزه‌اي واقعي نيز نشان داده مي‌شود.

The Stolt (f-k) migration algorithm is a direct (i.e. non-recursive) Fourier-domain technique based on a change of variables (or equivalently, a mapping) that converts the input spectrum to the output spectrum. The algorithm is simple and efficient but limited to constant velocity. A v(z)(f-k) migration method, capable of very high accuracy for vertical variations of velocity, can be formulated as a non-stationary combination filter that avoids the change of variables. In this article, we compare the efficiency of Stolt (f-k) migration (eq. 1) with two non-stationary filters based on v(z)(f-k) migration methods. (1) The result of applying v(z)(f-k) migration is a direct Fourier-domain process that for each wavenumber applies a non-stationary migration filter to a vector of input frequency samples to create a vector of output frequency samples (eq. 2). (2) The filter matrix is analytically specified in the mixed domain of input frequency and migrated time. It can be moved to the full Fourier domain of input frequency and output frequency by a fast Fourier transform. When applied for seismic traces the v(z)(f-k) algorithm is slower than the Stolt method but without the usual artifacts related to complex-valued frequency domain interpolation. We used two different schemes to consider the variations of velocity with depth. Vertical variations through an rms velocity (straight-ray) assumption are handled by v(z)(f-k) method with no additional cost. Greater accuracy at slight additional expense is obtained by extending the method to a WKBJ phase shift integral. We tested the efficiency of these methods on synthetic seismic records. Finally v(z)(f-k) method is applied to a real seismic section and the result are presented.