بررسي و تعيين پيچيدگي بهينه ساختارهاي دسترسي دوبخشي

Etermining the Optimal Complexity of Bipartite Access Structures

در يك طرح تقسيم راز دوبخشي، مجموعه سهام داران را به‌گونه‌اي به دو قسمت تقسيم مي كنند كه همه سهام‌داران درون يك بخش، نقش يك‌ساني را بازي كنند. پادرو و سايز ساختارهاي دسترسي ايده آل دو بخشي را به‌طور كامل دسته بندي كرده اند اما اين‌كه كدام ساختارهاي دسترسي غيرايده آل پيچيدگي بهينه دارند هم‌چنان نامعلوم است. از طرفي مشخص كردن پيچيدگي ساختارهاي دسترسي در حالت كلي، يكي از بزرگ‌ترين مسايل حل نشده در بحث تقسيم راز است. به‌اين منظور و در راستاي بررسي پيچيدگي، ما خودمان را به ساختارهاي دسترسي دوبخشي محدود مي كنيم تا روش جديدي براي محاسبه كران هايي روي پيچيدگي بهينه اين گونه ساختارها به‌دست آوريم. در اين مقاله با استفاده از ارتباط طرح هاي تقسيم راز و پلي ماتريدها، براي پيچيدگي هر ساختار دسترسي دوبخشي، از مساله برنامه ريزي خطي استفاده مي كنيم تا كران پاييني روي پيچيدگي هر ساختار دسترسي ارايه دهيم. ساختارهاي دسترسي كه ما در اين مقاله بررسي كرده ايم محدوديتي در تعداد سهام داران شركت كننده در طرح ندارند. به‌علاوه در اين مقاله نشان خواهيم داد كه برخي از كران هاي پايين ارايه شده بر روي پيچيدگي اين ساختارهاي دسترسي دقيق هستند. در آخر طرح هاي بهينه جديدي را بر روي ساختارهاي دسترسي دوبخشي خاص ارايه خواهيم داد.

In a bipartite secret sharing scheme, the set of participants is divided into two parts, and all participants in each part play an equivalent role. The ideal bipartite access structures were characterized by Padro and Saez, but it is not known which is the optimal information rate of non ideal bipartite access structures. Determining the optimal complexity of general access structures is one of the major problems in secret sharing. We study this open problem restricted to the bipartite access structures, obtaining a new method to compute bounds on the optimal complexity. Namely, by using the connection between secret sharing schemes and polymatroids, we show a linear programming problem that determines, for each access structure, a lower bound on the complexity. Moreover, we show new optimal constructions for certain bipartite access structures