بررسي روش برگمن مجزا در حل مسيله كنترل بهينه با قيد مشتقات بيضوي

Analysis of Split Bregman Method for Solving the Optimal Control Problem with Elliptic Partial Differential Equation Constraint

در چند دهه اخير به حل مسايل كنترل بهينه با قيد مشتقات جز‌يي به‌طور وسيعي توجه شده است. اين نوع مسايل بسيار پيچيده است و حل عددي آن‌ها اهميت ويژه‌اي دارد. در اين مقاله به حل مسيله كنترل بهينه با قيد مشتقات بيضوي مي‌پردازيم. ابتدا با استفاده از روش اجزاي محدود شكل گسسته مسيله را به‌دست مي‌آوريم، مسيله گسسته به‌دست آمده مسيله بهينه‌سازي مقيد در ابعاد بزرگ است. حل اين مسيله بهينه‌سازي با روش‌هاي معمول دشوار و نيازمند زمان و حافظه كامپيوتري زيادي است. اما روش برگمن مجزا با تبديل مسيله مقيد به مسيله‌اي نامقيد در همان بعد در زمان و حافظه لازم صرفه‌جويي مي‌كند. اين مسيله را با روش تكراري برگمن مجزا حل مي‌كنيم و در مثال‌هايي كه مي‌آوريم سرعت و دقت روش تكراري برگمن مجزا را در حل اين نوع از مسايل نشان مي‌دهيم. هم‌چنين از روش SQP براي حل مسيله و مقايسه با روش برگمن مجزا استفاده كرده‌ايم.

In recent decades optimal control problems with partial differential equation constraints have been studied extensively. These issues are very complex and the numerical solution of such problems is of great importance. In this article we will discuss the solution of elliptic optimal control problem. First, by using the finite element method we obtain to gain the discrete form of the problem. The obtained discrete problem is actually a large scale constrained optimization problem. Solving this optimization problem with traditional methods is difficult and requires a lot of CPU time and memory. But split Bergman method converts the constrained problem to an unconstrained problem, and hence it saves time and memory requirement. We then use the split Bregman iterative methods for solving this problem, and examples show the speed and accuracy of split Bregman iterative methods for solving this type of problems. We also use the SQP method for solving the problem and compare with split Bregman method.