تاملي بر استقراي رياضي

A Speculation on Mathematical Induction

يكي از اصول مهمي كه در اثبات برخي از قضاياي اساسي منطق جديد و بسياري از قضاياي رياضيات از آن بهره مي‏گيرند اصل استقراي رياضي است. پرسش اين است كه آيا اين اصل بديهي است؟ به‏ظاهر شهودهاي عرفي، بداهت آن را تاييد نمي‏كنند. لذا وضوح برهان قضاياي مبتني بر اصل فوق نيز كانون ترديد است و توجيه برهان چنين قضايايي، مشروط به اذعان بر درستي اصل استقراي رياضي خواهد بود. گمان مي‏كنيم اصل فوق با تكيه بر مفاهيم و اصول اوليه مجموعه اعداد طبيعي اثبات‏پذير است و بدين‏ترتيب با اثبات آن، دغدغه احتمالي تشكيك در استحكام منطقي اصل استقراي رياضي و قضاياي مبتني بر آن در منطق جديد مرتفع خواهد شد.

One of the important principles used in proving some of the basic propositions in new logic as well as many propositions in mathematics is ‘mathematical induction’. The question is whether this principle is an axiomatic one. Apparently, common sense does not prove it as axiomatic. Thus, the clarity of the demonstration for propositions based on the above principle is doubtful, and the justification of such demonstrations is contingent upon acknowledging the accuracy of the principle of mathematical induction. The authors think that the above principle is provable by relying on primary notions and principles governing the set of natural numbers; and thus by proving it, the probable concern about the doubt on logical strength of the principle of mathematical induction and the propositions based on it in new logic is removed.