حل دقيق ارتعاشات آزادنانو صفحه‌هاي مستطيل شكل با استفاده ازتيوري مرتبه سوم برشي غيرمحلي

Exact solutions for free vibration of lévy-type rectangular nanoplates via nonlocal third-order plate theory

دراين مقاله،اثرات مقياس كوچك برروي ارتعاشات آزادنانو صفحات مستطيلي، براساس تيوري غيرمحلي تغييرشكل برشي مرتبه سوم ردي و با استفاده از يك روش دقيق تحليلي بررسي شده است. به منظور حل دقيق معادلات حركت، ابتدا معادلات بي‌بعد شده و با استفاده از تابع كمكي از يكديگر دي‌كوپله شده‌اند. نهايتاً، معادلات جديدي بر حسب يكسري توابع پتانسيل بدست آمده كه بصورت دقيق و تحليلي قابل حل مي‌باشند و به اين ترتيب فركانس‌هاي طبيعي براي مساله بدست مي‌آيد. در حل معادلات فوق، از شرايط مرزي لوي استفاده شده كه بر اساس آن، دو لبه نانو صفحه داراي شرايط مرزي ساده و دو لبه ديگر مي‌تواند تركيبي از شرايط مرزي ساده، گيردار يا آزاد باشد. به منظور تاييد صحت روش حل حاضر، نتايج بدست آمده با ديگر روش‌هاي عددي و تقريبي مقايسه شده است. براي ارايه نتايج بيشتر، اثرات شرايط مرزي، مقادير مختلف پارامتر غير محلي، نسبت طول به عرض و نسبت ضخامت به طول بر نسبت فركانسي نانوورق بررسي شده است. مطالعه حاضرمي‌تواندبه منظورتحليل استاتيكي وديناميكي سازه اي صفحه مانندضخيم درمقياس نانو،مانند گرافن چندلايه وگرافيت بصورت سازه‌هاي كامپوزيتيياساندويچي،مفيدباشد.

In this paper, exact closed-form solutions in explicit forms are presented to investigate small scale effects on the transverse vibration behavior of Lévy-type rectangular nanoplates based on the Reddy’s nonlocal third-order shear deformation plate theory. Two other edges may be restrained by different combinations of free, simply supported, or clamped boundary conditions. Hamilton’s principle is used to derive the nonlocal equations of motion and natural boundary conditions of the nanoplate. Two comparison studies with analytical and numerical techniques reported in literature are carried out to demonstrate the high accuracy of the present new formulation. Comprehensive benchmark results with considering the small scale effects on frequency ratios and non-dimensional fundamental natural frequencies of rectangular nanoplates with different combinations of boundary conditions are tabulated for various values of nonlocal parameters, aspect ratios and thickness to length ratios. Due to the inherent features of the present exact closed-form solution, the present findings will be a useful benchmark for evaluating the accuracy of other analytical and numerical methods, which will be developed by researchers in the future. Also, the present study may be useful for static and dynamic analysis of thicker nano scale plate-like structures, multi-layer graphene and graphite as composite or sandwich structures.