حل تحليلي معادله انتقال آلودگي به ازاي الگوي زماني دلخواه منابع آلاينده نقطه‌اي توسط روش تابع گرين

Analytical Solution of Pollution Transport Equation with Arbitrary Time Pattern of Multiple Point Sources using Green’s Function Method

كاربرد مدل­های ریاضی در زمینه انتقال آلودگی در رودخانه­ها از اهمیت بسیاری برخوردار است. به­كارگیری حل­های تحلیلی در این زمینه به­منظور صحت‌سنجی روش­های حل عددی ضروری است. در این مقاله راه­حل تحلیلی معادله انتقال آلودگی[1]  (ADRE)در حالت یك بعدی با ضرایب (سرعت و ضریب پراكندگی) ثابت و به ازای الگوهای زمانی دلخواه منابع آلاینده نقطه­ای با استفاده از روش تابع گرین[2]تعیین می­شود. ابتدا راه‌حل كلی معادله ADRE در دامنه نیمه محدود تعیین شد. بیان صریح راه‌حل نهایی مذكور، منوط به داشتن تابع گرین مرتبط با مسأله اصلی است. برای تعیین تابع گرین از ابزاری به نام عملگر الحاقی استفاده می­شود. نهایتاً با قرار دادن تابع گرین در فرم كلی راه­حل به­دست آمده برای مسأله مقدار مرزی اصلی، راه‌حل معادله ADRE تعیین شد. ارزیابی رابطه پیشنهادی از طریق مقایسه نتایج حاصل از آن با نتایج حل تحلیلیVan Genachten and Alves (1982) به ازای شرایط یكسان جریان و برای آلاینده ورودی با الگوی زمانی بارگذاری پله­ای انجام شد. نتایج به­دست آمده با هر دو راه‌حل كاملاً بر یكدیگر منطبق بودند. هم­چنین به­منظور تعمیم نتایج به حالت واقعی، غلظت حاصل از بارگذاری دو منبع تخلیه آلاینده با الگوی زمانی نامنظم نیز با روش GFM تعیین شده و به دلیل عدم وجود حل تحلیلی در این موارد، نتایج آن با نتایج حاصل از نرم‌افزار MIKE11 مقایسه شد. نمودارهای نهایی و تحلیل شاخص­های آماری حاكی از انطباق نتایج راه‌حل تحلیلی پیشنهادی با نتایج حاصل از MIKE11 می­باشد. لازم به ذكر است، تعیین حل تحلیلی صورت كلی این معادله برای بیش از یك منبع آلاینده نقطه­ای فعال با الگوهای زمانی نامنظم و دلخواه بارگذاری، از دستاوردهای مهم این مقاله به­­شمار می­رود. [1]. Advection-Dispersion-Reaction Equation [2]. Green’s Function Method (GFM)

Application of mathematical models of pollution transport in rivers is very important. It is necessary to utilize analytical solutions for verification of numerical methods.The purpose of this study is to determine 1-D analytical solution of the pollution transport equation (ADRE[1]) with constant velocity and dispersion coefficient for arbitrarily time patterns of multiple point sources using Greenʹs function method (GFM). General solution of ADRE equation was determined in semi-infinite domain. Final explicit solution depends on the existence of Green’s function related to the original problem. In order to find the Green’s function of each problem, a powerful tool called “Adjoint Operator” was employed. By locating the Green’s function in the general solution associated with the main boundary value problem, the final solution of ADRE equation was specified. Verification of the proposed solution was achieved by comparing the present results to the ones of Van Genuchten and Alves (1982) for the same conditions of flow and time step pattern of entrance for the pollution loading. The results obtained from both solutions were completely consistent. To generalize the proposed solution, the concentration resulting from two point sources with irregular time pattern was determined using GFM. Due to the lack of analytical solution in these cases, the result were compared with the results obtained from MIKE11 model. The Final graphs and statistical analysis show good agreement between the results of MIKE11 and the proposed solution. The main innovation aspect of this research is determining the analytical solution of ADRE equation for multiple active point sources with irregular and arbitrary time pattern. [1]. Advection Dispersion Reaction Equation