بررسي ارتعاشات آزاد نانوتير اويلر-برنولي ويسكوالاستيك كسري

Free vibration analysis of fractional viscoelastic Euler-Bernoulli nano-beam

رياضيات با مرتبه كسري شاخه اي از رياضيات است كه در دهه هاي اخير مورد توجه فراوان دانشمندان علوم مختلف از جمله مهندسي قرار گرفته است. از كاربردهاي اين شاخه در مهندسي مي توان به مدل‌سازي مواد ويسكوالاستيك توسط مشتقات با مرتبه كسري اشاره كرد. در اين مقاله سعي شده است با وارد كردن رياضيات كسري تحت عنوان معادله سازگاري مواد ويسكوالاستيك، در تيوري غيرموضعي، يك نانوتير اويلر- برنولي ويسكوالاستيك با شرايط مرزي مختلف در دو انتها مدل شود. براي حل معادلات استخراج شده، مشخصات مواد مربوط به يك نانولوله كربني در نظر گرفته شده است. با دو روش كاملاً عددي و عددي- تحليلي، پاسخ هاي زماني مربوط به سيستم بدست آمده است. روش اصلي به كارگرفته شده يك روش كاملاً عددي مي باشد و در آن از ماتريس هاي اپراتور مشتق گير، براي گسسته سازي معادلات در حوزه مكان و زمان استفاده شده است. روش دوم براي اعتبارسنجي نتايج بدست آمده از روش قبل ارايه شده است، در اين روش با استفاده از رهيافت گلركين معادله مربوط به سيستم به يك معادله ديفرانسيل معمولي در حوزه زمان تبديل شده است، سپس معادله حاصل با يك روش عددي انتگرال گيري مستقيم حل شده است. در انتها در يك بررسي موردي، تاثير پارامترهاي مختلف از جمله مرتبه كسري لحاظ شده، ضريب ويسكوالاستيسيته و ضريب تيوري غيرموضعي بر پاسخ هاي زماني تير اويلر-برنولي تحت شرايط مرزي مختلف مطالعه شده است.

Fractional calculus is a branch of mathematics which in recent decades has been of great interest to scientists in various disciplines, including engineering. One of the applications of this branch in engineering is in modeling the viscoelastic materials using fractional differentiation. In this article, by inserting fractional calculus as viscoelastic material compatibility equations in nonlocal beam theory, a viscoelastic Euler-Bernoulli nano-beam with different boundary conditions at two ends has been modeled. Material properties of a carbon nanotube are considered and two methods, pure numerical and numerical-analytical have been used for solving obtained equations in time domain. The main method is completely numerical and operator matrices used it to discrete equations in time and spatial domain. The second method is introduced for validation of the previous method’s answers. In this method, equation of system is reduced to an ordinary differential equation using Galerkin and the obtained equation is solved using a numerical direct integrator method. Finally, in a case study, the effects of fractional order, viscoelasticity coefficient and nonlocal theory coefficient on the time response of the viscoelastic Euler-Bernoulli nano-beam with different boundary conditions have been studied.