حلّ تحليلي محاسبه توزيع تنش اطراف گشودگي مثلثي براي صفحات همسانگرد محدود تحت بارگذاري درون‌صفحه‌اي

Analytical solution to calculate the stress distribution around a triangular hole in finite isotropic plates under in-plane loading

در اين مقاله، توزيع تنش اطراف گشودگي مثلثي در ورق همسانگرد محدود، تحت بارگذاري درون صفحه اي مطالعه شده است. روش بكار گرفته شده برپايه ي حل تحليليِ متغير مختلطِ موشخيلشويلي و نگاشت همنوا با فرض تنش صفحه اي مي باشد. ورق، محدود (نسبت طول بزرگترين ضلع گشودگي به ورق، بزرگتر از 2/0)، همسانگرد و الاستيك خطّي درنظر گرفته شده است. روش حل به گونه اي است كه با استفاده از تابع نگاشت همنوا ناحيه ي محدود خارج گشودگي مثلثي در صفحه ي z به ناحيه محدود خارج گشودگي دايروي به شعاع واحد در صفحه ي ? نگاشت مي شود. براي محاسبه ي تابع تنش مربوط به صفحه ي محدود حاوي گشودگي مثلثي، از جمع تابع تنش يك ورق نامحدود حاوي گشودگي مثلثي و تابع تنش يك ورق محدود بدون گشودگي استفاده شده است. ضرايب مجهول در تابع تنش، با استفاده از روش حداقل مربعات مرزي و اعمال شرايط مرزي مناسب به دست مي آيد. تاثير پارامترهايي از قبيل انحناي گوشه هاي گشودگي، زاويه ي چرخش گشودگي، نسبت اضلاع ورق، نسبت اندازه ي گشودگي به ورق و نوع بارگذاري، به عنوان پارامترهاي موثر بر توزيع تنش بررسي شده است. نتايج به دست آمده از حلّ تحليلي با نتايج به دست آمده از روش اجزاي محدود به كمك نرم افزار آباكوس، مطابقت خوبي را نشان مي دهد. نتايج نشان مي دهد كه در بررسي توزيع تنش ورق هايي كه نسبت طول ضلع گشودگي به كوچكترين طول ورق در آن ها بزرگتر از 2/0 است؛ استفاده از حل مربوط به ورق نامحدود با خطاي زيادي همراه خواهد بود.

In this paper, stress distribution around a triangular hole in finite isotropic plate under in-plane loading is studied. With the assumption of plane stress conditions, the method employed is based on the analytical solution of Muskhelishvili’s complex variable method and conformal mapping. The finite plate (the ratio of the length of the biggest side of the hole to side of the plate is greater than 0.2) can be considered as isotropic and linearly elastic. For solving the problem, the finite area with a triangular hole in z plan is mapped onto finite area outside a unit circle in ? plan using the conformal mapping function. The stress function in finite plate with triangular hole is presented by superposition of the stress function for an infinite plate with a triangular hole and ones for a finite plate without a hole. The unknown coefficients in stress function are obtained by using the least square boundary collocation method and applying the appropriate boundary conditions. The effect of hole curvature, hole orientation, plate’s aspect ratio, hole size, type of loading as the effective parameters on the stress distribution have been investigated. The results based on analytical solution are in good agreement with those obtained from the finite element method using Abaqus software. The results show that, by using infinite plate theory the analysis of the stress distribution in perforated plates where the ratio of the length of the biggest side of the hole to the smallest side of the plate is greater than 0.2, results in great error.