حل معادله دو‌بعدي پخش- واكنش ماندگار با استفاده از روش المان محدود با مرز مقياس‌شده

A Scaled Boundary Finite-Element Solution to Two-Dimensional Steady- State Reaction–Diffusion Equation

در اين تحقيق، از يك روش نيمه تحليلي به نام روش المان محدود با مرز مقياس‌شده براي حل معادله پخش- واكنش در حالت ماندگار با ضرايب پخش و زوال ثابت كه كاربرد گسترده‌اي در مسايل انتقال آلودگي، مهندسي شيمي و انتقال حرارت دارد، استفاده مي‌شود. اين روش در دهه گذشته با موفقيت براي حل مسايل مختلف مهندسي مانند الاستوديناميك، مكانيك شكست و تراوش به‌كار گرفته شده است. اين روش مزاياي هر دو روش المان محدود و المان مرزي را هم‌زمان داراست. شبكه‌بندي فقط روي مرزها صورت مي‌گيرد؛ بنابراين ابعاد مسيله به اندازه يك واحد كاهش مي‌يابد، اما برخلاف روش المان مرزي، نيازي به حل معادلات بنيادي پيچيده نيست. درونيابي در مرزها همانند روش المان محدود با استفاده از توابع شكل تقريب زده‌مي‌شود. اين روش نقاط تكين، مسايل ناهمسان و ناهمگني كه شرط تشابه را ارضا كنند، به خوبي مدل‌سازي مي‌كند و همچنين قادر به ارضا شرايط مرزي در بي‌نهايت (شرط تابشي) براي تسخير دامنه‌هاي نامحدود است. در اين تحقيق ابتدا فرمولاسيون روش المان محدود با مرز مقياس‌شده براي حل معادله پخش– واكنش ارايه و سپس معادلات به كمك روشي پيشنهادي حل خواهند شد. دقت و عملكرد اين روش با استفاده از سه نمونه عددي بررسي مي‌شود. نتايج نشان مي‌دهند كه جواب‌هاي روش المان محدود با مرز مقياس‌شده هم‌خواني مناسبي با جواب‌هاي تحليلي و عددي پركاربرد دارد.

A semi-analytical method, the so-called Scaled Boundary Finite-Element Method (SBFEM) is employed for solving two-dimensional steady-state reaction-diffusion equation with constant diffusion and decay coefficients which are widely used in contaminant transfer, chemical engineering and heat transfer problems. This method has been successfully applied to various problems of engineering such as elastodynamics, fracture mechanics and seepage. This method has the advantages of both boundary element method and finite-element method. Only the boundary is discretized reducing the spatial dimension by one. Unlike the boundary element method no fundamental solution is required. Interpolation over the boundaries is approximated using shape functions the same as in the finite-element method. Singularities, anisotropic problems, non-homogeneities satisfying similarity and radiation condition at infinity used in modeling unbounded domains are simply modeled by this technique. In this study, after derivation of the scaled boundary finite-element formulations for reaction–diffusion equation, the equations are solved using the proposed solution procedures. The accuracy and performance of the SBFEM is evaluated using three numerical examples. Reasonable agreement exists between the results of the scaled boundary finite-element method, the analytical solutions and the popular numerical approaches.