Lakatos and Hersh on Mathematical Proof

برهان رياضي از ديدگاه لاكاتوش و هرش

مفهوم اثبات در چند دهه اخير مناقشه آميز شده است. به طوري كه افراد نظريه‌هاي مختلفي درباره چيستي اثبات ارايه داده اند. لاكاتوش و هرش از جمله اين افراد هستند. نظريه‌هاي اين دو فيلسوف شباهت ها و اختلافات قابل توجهي دارند. به نظر مي‌‌رسد كه با مقايسه و بررسي نقادانه اين دو نظريه فهم بهتري از مفهوم اثبات رياضياتي به دست خواهد آمد. دو وجه شباهت مهم بين اين دو نظريه عبارتند از: دوگانه‌انگاري در اثبات و انسانگرايي. يعني هر دو فيلسوف باور دارند كه اولاً دو نوع اساساً متفاوت از اثباتهاي رياضياتي وجود دارد، به طوري كه نمي‌توان يكي از آنها را به ديگري فروكاست: اثباتهاي«صوري» و «غيرصوري»؛ و ثانياً مفهوم و اعتبار اثباتهاي غيرصوري تابعي از عوامل انساني، مثل تصميم هاي فردي و توافق جمعي، است. بنابراين اين دسته از اثباتها خطاپذير و شبه تجربي خواهند بود. لاكاتوش به نوعي دوگانه‌انگاري خطي و انسانگرايي روش شناختي پايبند است، اما نظريه هرش مستلزم دوگانه‌انگاري موازي و انسان گرايي جامعه شناختي است. دوگانه انگاري خطي بر اين آموزه فرگشتي استوار است كه رياضيات، در يك مسير استانده، از مرحله پيشاصوري وارد مراحل صوري و سپس پساصوري ‌شده و توسعه مي‌يابد. بنابراين هر دو نوع اصلي اثباتها در يك ارگانيسم واحد و در راستاي غايتي مشترك، يعني آشكار شدن مفاهيم و روشهاي رياضياتي، ارايه مي‌شوند. اما طبق دوگانه انگاري موازي، دو نوع اصلي اثباتها در راستاي دو نوع هدف اساساً متفاوت شكل مي‌گيرند. انسان گرايي لاكاتوش دستوري است و در چارچوب منطق هگلي قابل بيان است اما انسان گرايي هرش توصيفي است و بايد در پارادايم فلسفي كوهن تحليل شود.

The concept of Mathematical Proof has been controversial for the past few decades. Different philosophers have offered different theories about the nature of Mathematical Proof, among which theories presented by Lakatos and Hersh have had significant similarities and differences with each other. It seems that a comparison and critical review of these two theories will lead to a better understanding of the concept of mathematical proof and will be a big step towards solving many related problems. Lakatos and Hersh argue that, firstly, “mathematical proof” has two different meanings, formal and informal; and, secondly, informal proofs are affected by human factors, such as individual decisions and collective agreements. I call these two thesis, respectively, “proof dualism” and “humanism”. But on the other hand, their theories have significant dissimilarities and are by no means equivalent. Lakatos is committed to linear proof dualism and methodological humanism, while Hersh’s theory involves some sort of parallel proof dualism and sociological humanism. According to linear proof dualism, the two main types of proofs are provided in order to achieve a common goal: incarnation of mathematical concepts and methods and truth. However, according to the parallel proof dualism, two main types of proofs are provided in order to achieve two different types of purposes: production of a valid sequence of signs (the goal of the formal proof) and persuasion of the audience (the goal of the informal proof). Hersh’s humanism is informative and indicates pluralism; whereas, Lakatos’ version of humanism is normative and monistic.