بررسي ارتعاش محوري نانوميله هاي غير يكنواخت با استفاده از توابع چند جمله اي متعامد مشخصه مرزي

Analysis of axial vibration of non-uniform nanorods using boundary characteristic orthogonal polynomials

در اين مقاله، ارتعاش محوري نانوميله بر اساس تيوري الاستيسيته غير محلي ارينگن با استفاده از روش ريلي-ريتز مورد تحليل واقع شده است. يك نانوميله غير يكنواخت با سطح مقطع، چگالي و مدول يانگ متغير در نظر گرفته شده است. در روش حاضر، چند جمله اي هاي مرزي همراه با چند جمله اي هاي متعامد به عنوان توابع شكل در روش ريلي-ريتز مورد استفاده قرار گرفته اند كه باعث مي شود تجزيه و تحليل ارتعاش كارآمد شده و اعمال شرايط مرزي ساده تر گردد. استفاده از چند جمله اي هاي مذكور باعث افزايش نرخ همگرايي نتايج مي شود. تمام معادله هاي مورد استفاده در اين مطالعه به منظور كاهش تعداد پارامترهاي موثر در راه حل، بي بعد شده اند. اثر پارامتر غير محلي و پارامترهاي ناهمگن روي رفتار ارتعاشي نانوميله مورد بررسي قرار گرفته است. نتايج به دست آمده در مطالعه حاضر با نتايج موجود و معتبر در متون مقايسه شده و نتايج بدست آمده بطور قابل قبولي مطابقت دارند. نتايج بدست آمده نشان مي دهند كه فركانس هاي نانو ميله به ضريب مقياس، غير يكنواخت بودن و شرايط مرزي بستگي دارد. بطور مثال افزايش ضريب مقياس سبب افزايش نرخ فركانس (نسبت فركانس غيرمحلي به فركانس محلي) مي شود و اثر آن در فركانس هاي بالاتر بيشتر است و همچنين با افزايش طول نانوميله پارامتر فركانس نيز افزايش مي يابد.

In this paper, the longitudinal vibration of nanorod based on Eringen’s nonlocal elasticity theory was studied using Rayleigh-Ritz method. A non-uniform nano-rod with variable cross-sectional area, density and Young’s modulus were considered. In the present work, boundary polynomials with orthogonal polynomials were used as shape functions in the Rayleigh-Ritz method which causes the vibrational analysis to be computationally efficient and imposition of boundary conditions to be easier. Using the mentioned polynomials the convergence rate of the obtained results was increased. All of the equations used in this study are nondimensionalized to reduce the number of effective parameters in the solution. The influence of the nonlocal and in-homogeneity parameters on the vibrational behavior of nanorod was investigated. The results were compared to available results in the literature and a good agreement was achieved. The results showed that nanorod frequencies were dependent on the small scale effect, non-uniformity, and boundary conditions. For instance, an increase in frequency ratio causes the scale coefficient in all vibration modes to be increased, especially in higher modes. In addition, the frequencies were increased by increasing in the length of the nanorod.