مقايسه دو شيوه براي حل معادله غيرخطي حاكم براي ارتعاشات ميكرو حسگرهاي الكترواستاتيكي

A comparison between two approaches for solving the governing nonlinear equation of vibrations of electrostatic microsensors

ميكرو حسگرهاي الكترواستاتيكي به عنوان بخشي از سيستمهاي ميكروالكترومكانيكي داراي جايگاه ويژه‌اي در تكنولوژي پيشرفته مي‌باشند. از همين رو مدلسازي دقيق و ارائه روش‌هاي مناسب براي حل معادلات حاكم بر رفتار مكانيكي و ارتعاشي آنها از اهميت بالايي برخوردار است. با توجه به ماهيت غير خطي تحريك الكترواستاتيكي از روشهاي عددي براي حل معادلات استفاده مي‌شود. در اين مقاله يك مقايسه تحليلي بين دو شيوه براي اعمال روش گالركين جهت حل معادله ديفرانسيل ارتعاشي انجام شده است. در شيوه اول كه در بيشتر تحقيقات گذشته از آن استفاده شده است، ابتدا دو طرف معادله ديفرانسيلي حاكم در معكوس نيروي الكترواستاتيكي ضرب شده و سپس روش گالركين اعمال مي‌شود، در حالي كه در شيوه دوم كه در كار حاضر ارائه مي‌شود روش گالركين به طور مستقيم بر روي معادله ديفرانسيل حاكم اعمال مي‌شود. به عنوان مطالعه موردي از تئوري غير موضعي براي استخراج معادله حاكم استفاده شده است. نتايج حاصل نشان مي‌دهند كه براي يك ميكروتير داده شده، اگرچه در بيشتر موارد هر دو شيوه مقدار يكساني براي ولتاژ پولين محاسبه مي‌كنند ولي شيوه اول در برخي موارد قادر به شناسايي نقطه پولين و نيز برخي نقاط تعادلي نمي‌باشد. بنابراين نمودارهاي تعادلي و صفحات فازي كيفيت متفاوتي با استفاده از دو شيوه خواهند داشت. هم چنين نتايج نشان مي‌دهند كه نقطه تكين به عنوان موقعيت صفحه پاييني به صورت يك جاذب قوي در نمودارهاي فازي عمل مي‌كند كه البته شيوه اول بر خلاف شيوه دوم قادر به شناسايي اين نقطه نيز نيست.

Electrostatic microsensors as a part of microelectromechanical systems (MEMS) play an important role in modern technology. So, precise modeling and suitable solutions for solving the governing mechanical and vibrational equations of them are of great importance. Due to the nonlinear nature of the electrostatic excitation, numerical methods are used to solve the governing equations. This paper presents a comparison between two Galerkinbased approaches to solve them. In the first approach, as used by many researchers in the literature, both sides of the equations are multiplied with the denominator of the electrical force term and then the Galerkin method is applied, whereas in the second approach, we apply direct Galerkin method to solve the equation. As a case study the nonlocal elasticity theory has been used to obtain the governing equation. The results show that for a given beam, although the both approaches predict same pullin voltage in most cases, but the first approach cannot predict the pullin instability in some cases and also misses some fixed points. So, the bifurcation diagrams and phase portraits have different quality in the two approaches. Also, the results show that the singular point which is the position of the substrate plate, acts as a strong attractor in the phase diagrams which the first approach is unable to predict it.