توسعه روش المان محدود طيفي تصادفي مرتبه بالا براي تحليل عدم‌قطعيت‌هاي محيط‌هاي پيوسته دوبعدي

Development of higherorder stochastic spectral finite element method for uncertainty analysis of 2D continua

وجود عدم قطعيت مشخصات كمّي يك سامانه (مانند بارگذاري يا ضريب ارتجاعي يك سازه)، امري اجتناب‌ناپذير بوده و بنابراين اثرات آن همواره موردتوجه مهندسين بوده است. در اين ميان، روش‌هاي عددي نقش به‌سزايي در مكانيك محاسباتي تصادفي دارند، به‌خصوص براي مسائل كاربردي كه حل تحليلي ندارند. در اين مقاله، به توسعه المان‌هاي طيفي مرتبه بالاي خانواده لوباتو در روش المان محدود طيفي تصادفي براي تحليل اتفاقي محيط‌هاي پيوسته دوبعدي و بررسي عدم قطعيت مصالح پرداخته شده است. اثر شبكه و مرتبه توابع درون‌يابي در پاسخ اين سازه‌ها مورد بررسي و مقايسه قرار گرفته است. علاوه بر اين، معادله انتگرالي فردهولم ناشي از بسط كارهيونن‌لُوِ توسط روش مذكور حل شده و اثر مرتبه المان و شبكه در آن‌ها نيز ديده شده است. روش مذكور نيازمند تعداد المان كمتري نسبت به روش المان محدود تصادفي استاندارد بوده و به‌ويژه در مسائل ديناميكي داراي دقت مناسب و ماتريس جرم قطري است. در ضمن، به‌كارگيري اين المان‌هاي طيفي به همراه بسط كارهيونن‌‌لُوِ و چندجمله‌اي‌هاي آشوبي، منجر به تسريع فرايند محاسبه شده كه اين امر مشمول حل عددي معادله انتگرالي فردهولم نيز مي‌گردد. در اين پژوهش، مثال‌هاي مبناي الاستواستاتيكي و الاستوديناميكي تحليل‌‌شده، به بررسي دقت اين روش و تأثير پارامترهاي مورد بررسي مي‌پردازد. نتايج حاكي از نقش المان‌هاي مرتبه بالا در سرعت، دقت و كارايي تحليل ديناميكي و استاتيكي محيط‌هاي پيوسته است.

Uncertainty inherently exists in quantity of a system’s parameters (e.g., loading or elastic modulus of a structure), and thus its effects have always been considered as an important issue for engineers. Meanwhile, numerical methods play significant role in stochastic computational mechanics, particularly for the problems without analytical solutions. In this article, spectral finite element method is utilized for stochastic spectral finite element analysis of 2D continua considering material uncertainties. Here, Lobatto family of higher order spectral elements is extended, and then influence of mesh configuration and order of interpolation functions are evaluated. Furthermore, Fredholm integral equation due to Karhunen Loève expansion is numerically solved through spectral finite element method such that different meshes and interpolation functions’ orders are also chosen for comparison and assessment of numerical solutions solved for this equation. This method needs fewer elements compared to the classic finite element method, and it is specifically useful in dynamic analysis as supplies desirable accuracy with having diagonal mass matrix. Also, these spectral elements accelerate the computation process along with Karhunen Loève and polynomial chaos expansions involving numerical solution of Fredholm integral equation. This research examines elastostatic and elastodynamic benchmark problems to demonstrate the effects of the undertaken parameters on accuracy of the stochastic analysis. Moreover, results demonstrate the effects of higherorder spectral elements on speed, accuracy and efficiency of static and dynamic analysis of continua.