اثبات رابطه سرگئي وينزكي براي تقريب تابع توزيع نرمال استاندارد

A New Proof for Winitzki's Approximation of Normal Cumulative Distribution Function

در بين تمام توزيع‌هاي آماري توزيع نرمال استاندارد مهم‌ترين و كاربردي‌ترين توزيع آماري بوده و محاسبه سطح زير منحني چگالي و تابع توزيع آن مورد نياز است. ضابطه اين تابع به‌صورت يك انتگرال معين بيان مي‌شود، ولي متاسفانه تابع اوليه آن داراي شكل بسته و تحليلي نيست، لذا بايد آن را تقريب زد. در اين مقاله رابطه تقريبي سرگئي وينزكي با يك روش جديد اثبات مي‌شود، سپس اين تقريب با تغييراتي در رابطه آن بهبود داده و نشان مي‌دهيم حداكثر مقدار خطاي آن كمتر از ۰/۰۰۰۰۵۸۴ است. در انتها رابطه‌اي نيز براي محاسبه صدك‌هاي توزيع نرمال به‌دست آورده مي‌شود

Among all statistical distributions, standard normal distribution has been the most important and practical distribution in which calculation of area under probability density function and cumulative distribution function are required. Unfortunately, the cumulative distribution function of this is, in general, expressed as a definite integral with no closed form or analytical solution. Consequently, it has to be approximated. In this paper, attempts have been made for Winitzki's approximation to be proved by a new approach. Then, the approximation is improved with some modifications and shown that the maximum error resulted from this is less than 0.0000584. Finally, an inverse function for computation of normal distribution quantiles has been derived.