ماتريس عملياتي جديد براي حل يك كلاس از مسائل كنترل بهينه با مشتق كسري ريمان - ليوويل اصلاح شده جميره

New Operational Matrix for Solving a Class of Optimal Control Problems with Jumarie's Modified Riemann-Liouville Fractional Derivative

در اين مقاله، ما روش طيفي را برمبناي چندجمله ­اي­ هاي برنشتاين براي حل يك كلاس از مسائل كنترل بهينه با مشتق كسري ريمان - ليوويل اصلاح شده جميره به كار مي ­بريم. در مرحله اول، پايه دوگان و ماتريس عملياتي حاصلضرب را براساس پايه برنشتاين معرفي مي نمائيم. سپس ماتريس عملياتي برنشتاين را براي مشتقات كسري ريمان – ليوويل اصلاح شده جميره بدست مي ­آوريم كه تا كنون انجام نشده است. با استفاده از تقريب توابع براساس پايه برنشاين و ماتريس ­هاي عملياتي ذكر شده، مسئله كنترل بهينه با مشتق كسري ريمان – ليوويل اصلاح شده جميره به يك سيستم معادلات جبري كاهش مي ­يابد كه با استفاده از روش تكراري نيوتن به سادگي قابل حل مي ­باشد. روش مطرح شده را براي حل دو مسئله بكار مي ­گيريم. نتايج عددي نشان مي ­دهد كه جواب ­هاي تقريبي حاصل، از دقت بالايي برخوردار هستند. برخي مقايسه­ ها با روش ديگر تضمين مي­ كند كه نتايج منطقي مي ­باشند. همچنين همانطور كه انتظار مي رفت، وقتي مرتبه مشتق كسري به عدد 1 ميل نمايد، جواب ­هاي بدست آمده به جواب­ هاي كلاسيك ميل مي­ نمايد.

In this paper, we apply spectral method based on the Bernstein polynomials for solving a class of optimal control problems with Jumarie's modified RiemannLiouville fractional derivative. In the first step, we introduce the dual basis and operational matrix of product based on the Bernstein basis. Then, we get the Bernstein operational matrix for the Jumarie's modified Riemann-Liouville fractional derivative, which has not been undertaken before. By using the function approximations based on the Bernstein basis and mentioned operational matrices, the optimal control problems with Jumarie's modified Riemann-Liouville fractional derivative is reduced to a system of algebraic equations that easily solvable by Newton's iteration method. We apply the proposed method for solving two examples. The numerical results show that present method is simple in implementation and the approximate solutions are in high accuracy. Some comparisons with other method guarantee that the results are reasonable. Also, the obtained solutions approach to classical solutions as the order of the fractional derivatives approach to 1, as expected.