يك روش عددي براي حل مسئله قيمت گذاري اختيارات آمريكايي تحت مدل نرخ بهره تصادفي CIR

A Numerical method for solving the problem of Pricing American Options under the CIR stochastic interest rate model

هدف اصلي اين مقاله تعيين قيمت اختيار فروش آمريكايي مي‌باشد هنگامي كه نرخ بهره خود از يك فرايند تصادفي تبعيت مي‌كند. بدين منظور، ابتدا مدل دارايي پايه را به مدل نرخ بهره تصادفي كاكس-اينگرسول-راس[i] (CIR) توسعه مي‌دهيم. سپس، مسئله قيمت‌گذاري اختيارت آمريكايي تحت مدل نرخ بهره تصادفي CIR، را به صورت يك مسئله مكمل خطي[ii] (LCP) دو بعدي فرمول بندي مي‌كنيم. براي حل اين LCP دو بعدي روش تجزيه مولفه‌اي دو سيكل را پيشنهاد كرده‌ايم. در اين روش، LCP دو بعدي به‌دست آمده براي قيمت‌گذاري اختيار آمريكايي به شش LCP يك بعدي در چندين مرحله‌ي زماني كسري تجزيه شده، و سپس هر LCP به‌طور عددي در دو مرحله حل مي‌شود. به‌طوري كه در مرحله‌ي اول از طريق حل دستگاه معادلات سه قطري قيمت‌هاي اختيار به‌دست مي‌آيد، و سپس در مرحله‌ي دوم (مرحله به هنگام‌سازي) مقادير قيمت‌هاي اختيار به‌دست آمده با توجه به شرايط مسئله قيمت‌گذاري اختيار آمريكايي اصلاح و به هنگام مي‌شوند. در نهايت، نتايج عددي حاصل از روش‌ تجزيه معرفي شده را با نتايج شبيه‌سازي مونت كارلو مقايسه خواهيم كرد.

The main purpose of this study is to derive the price of American put option, when the interest rate follows a stochastic process. For this purpose, first underlying asset model is expanded to CIR stochastic interest rate model. Then, the problem of American option pricing under CIR stochastic interest rate model is formulated as a two-dimensional linear complementarity problem (LCP). We propose a two-cycle componentwise splitting method for solving this two-dimensional LCP. In this method, the two-dimensional LCP, obtained for the valuation of an American option, is decomposed into six one-dimensional LCPs in several fractional time steps, and then each LCP is solved numerically in two steps. So that in the first step, the tridiagonal systems of equations are solved, and then in the second step (update step), the obtained values of option prices are modified and updated according to the conditions of the American option pricing problem. Finally, the numerical results obtained by splitting introduced method are compared with the Monte Carlo simulation results