بررسي آماري دو فرايند انتشار روي چنبره و كاربرد آن ها

A Statistical Study of two Diffusion Processes on Torus and Their Applications

محققان در زمينه ­هاي مختلف علوم از جمله علوم زيستي، به فرايندهاي انتشار مثل حركت براوني و فرايند اورنشتاين-اولن ­بك كه كلاسي از فرايندهاي تصادفي هستند توجه ويژه دارند. در بررسي چنين فرايندهايي معمولاً فرض مي ­شود مشاهدات حاصل از آن ­ها در فضاهاي اقليدسي قرار دارند. اما در بعضي از پديده­ هاي فيزيكي، شيميايي و زيستي داده ­هايي يافت مي­ شوند كه به دلايلي مثل تناوبي بودن مقاديري از فضاهاي اقليدسي به حساب نمي ­آيند. در نتيجه آن­ها با مدل­ بندي­ هاي معمول رياضي كه براي فضاهاي اقليدسي وجود دارند بررسي نمي­ شوند. علاوه بر اين، از نقطه نظر آمار، بررسي و تحليل آن­ها با استفاده از روش ­هاي مرسوم آمار خطي ممكن نيست. زاويه­هاي دوسطحي كه براي شناسايي، مدل­بندي و پيش ­بيني ساختار اصلي پروتئين ­ها استفاده مي­ شوند مثالي از اين دست داده ­هاست. چون اين زوايا مقاديري را روي چنبره نمايش مي ­دهند، در نتيجه انتظار مي­ رود مدل­ بندي مناسب آماري فرايندهاي انتشار روي چنبره بتواند كمك شاياني به فعاليت­ هاي معطوف به شبيه­ سازي پوياي مولكولي در پيش ­بيني ساختار اصلي پروتئين­ ها كند. در اين مقاله، با استفاده از فاصله­ هاي ريماني روي چنبره، معادلات ديفرانسيل تصادفي براي نمايش حركت براوني و فرايند اورن شتاين-اولن ­بك روي اين شكل هندسي به­ دست آورده مي­ شود. سپس با محاسبه توزيع ماناي فرايندهاي بررسي شده و ارزيابي تعدادي از توزيع­ هاي غيراقليدسي موجود، ارتباط نتايج حاصل با مفاهيم موجود در آمار غيرخطي برجسته خواهد شد.

Diffusion Processes such as Brownian motions and Ornstein-Uhlenbeck processes are the classes of stochastic processes that have been investigated by researchers in various disciplines including biological sciences. It is usually assumed that the outcomes of these processes are laid on the Euclidean spaces. However، some data in physical، chemical and biological phenomena indicate that they cannot be considered as the observations in Euclidean spaces due to the various features such as the periodicity of the data. Hence، we cannot analyze them using the common mathematical methods available in Euclidean spaces. In addition، studying and analyzing them using common linear statistics are not possible. One of these typical data is the dihedral angles that are utilized in identifying، modeling and predicting the proteins backbones. Because these angles are representatives of points on the surface of torus، it seems that proper statistical modeling of diffusion processes on the torus could be of a great help for the research activities on dynamic molecular simulations in predicting the proteins backbones. In this article، using the Riemannian distance on the torus، the stochastic differential equations to describe the Brownian motions and Ornstein-Uhlenbeck processes on this geometrical object were derived. Then، in order to evaluate the proposed models، the statistical simulations were performed using the equilibrium distributions of aforementioned stochastic processes. Moreover، the link between the gained results with the available concepts in the non-linear statistics were highlighted.